【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,O為BC中點(diǎn),如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng),設(shè)AM的長(zhǎng)為x,CN的長(zhǎng)為y,且x、y滿足等式(a>0)
(1)求證:BM=AN;
(2)請(qǐng)你判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)求證:當(dāng)OM∥AC時(shí),無(wú)論a取何正數(shù),△OMN與△ABC面積的比總是定值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)△OMN是等腰直角三角形,證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
試題(1)由等式可得出x=y=a,結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì),即可證得;
(2)作OE⊥AC,OF⊥AB,通過(guò)證明△OFM≌△OEN,可得OM=ON,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),只要證得∠MON=90°,即可證得;
(3)當(dāng)OM∥AC時(shí),OM、ON是等腰Rt△ABC的中位線,由三角形的面積計(jì)算公式,表示出三角形的面積,比較出其比值即可;
試題解析:(1)∵∠A=90°,∠B=45°,
∴∠C=45°,從而AB=AC;
由等式(a>0),知x=y=a,AM=CN=a,
∴BM=AB-AM=AC-CN=AN
(2)△OMN是等腰直角三角形。證明如下:
連AO,
∵AB=AC,O為BC中點(diǎn),
∴∠BAO=∠CAO=90°÷2=45°且AO⊥BC;
∵∠B=∠C=45°,
∴AO=BO=CO;
又BM=AN,
∴△BMO≌△ANO(SAS),
∴OM=ON,∠BOM=∠AON,
∴∠MON=∠AON+∠MOA=∠BOM+∠MOA=90°,即MO⊥NO,
故△OMN是等腰直角三角形
(3)當(dāng)OM∥AC時(shí),知∠BOM=∠A=90°,
由于∠B=45°,
∴△BMO是等腰直角三角形,從而∠BOM=45°;
∵∠MON=90°,
∴∠CON=45°,
又∠C=45°,
∴∠ONC=90°,
∵OM=ON,OB=OC,
∴且△BMO和△CNO是全等的等腰直角三角形(HL),
∴BM=MO=NO=NC=a,
由(1)知AN=BM=a,
∴AC=AB=2a,
∴△OMN與△ABC面積的比=a2:(2a)2=,
故結(jié)論成立
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC > BC,CD是Rt△ABC的高,E是AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.
(1)求證:DF是BF和CF的比例中項(xiàng);
(2)在AB上取一點(diǎn)G,如果AE·AC=AG·AD,求證:EG·CF=ED·DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老,也是最基本的研究對(duì)象,它們?cè)谝欢l件下可以互相轉(zhuǎn)化.樹(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái),通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
(1) (思想應(yīng)用)已知m, n均為正實(shí)數(shù),且m+n=2求的最小值通過(guò)分析,愛(ài)思考的小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問(wèn)題:如圖, AB=2,AC=1,BD=2,AC⊥AB,BD⊥AB,點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),且不與端點(diǎn)重合,連接CE,DE,設(shè)AE=m, BE=n.
①用含m的代數(shù)式表示CE=_______, 用含n的代數(shù)式表示DE= ;
②據(jù)此求的最小值;
(2)(類比應(yīng)用)根據(jù)上述的方法,求代數(shù)式的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】附加題:(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2=(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2.
求 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,AB=8,點(diǎn)P在邊CD上,tan∠PBC=,點(diǎn)Q是在射線BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作AB的平行線交射線AD于點(diǎn)M,點(diǎn)R在射線AD上,使RQ始終與直線BP垂直.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時(shí),求PQ的長(zhǎng);
(2)如圖2,試探索: 的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化?若有變化,請(qǐng)說(shuō)明你的理由;若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出它的比值;
(3)如圖3,若點(diǎn)Q在線段BP上,設(shè)PQ=x,RM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出它的定義域.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖8,四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長(zhǎng)為1的正方形.
(1)求證:△AEF∽△CEA;
(2)求證:∠AFB+∠ACB=45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的三邊長(zhǎng),,,,,都是整數(shù),且,的最大公約數(shù)為.點(diǎn)和點(diǎn)分別為的重心和內(nèi)心,且.則的周長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(9分)如圖,已知點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.
求證:(1)△ABC≌△DEF; (2)BE=CF
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A、B、C三人玩籃球傳球游戲,游戲規(guī)則是:第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B,C兩人中的某一人,以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人.
(1)求兩次傳球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
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