Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是射線AD的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)Q，設(shè)AP=x．

（1）求當(dāng)D，Q，B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

（2）當(dāng)△CDQ為等腰三角形時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ， ．

【解析】分析: （1）求x，通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形PDE，發(fā)現(xiàn)PE，DE，PD都可用x來(lái)表示，進(jìn)而易得方程，求解即可．

（2）若△CDQ為等腰三角形，則邊CD比為改等腰三角形的一腰或者底邊．又Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于PB的對(duì)稱點(diǎn)，則AB＝QB，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則Q點(diǎn)只能在弧AB上．若CD為腰，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為腰）的Q點(diǎn)．若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點(diǎn)即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為底）的Q點(diǎn)．則如圖所示共有三個(gè)Q點(diǎn)，那么也共有3個(gè)P點(diǎn)．作輔助線，利用直角三角形性質(zhì)求之即可．

詳解:

（1）連接DB，若Q點(diǎn)落在BD上，由AP=x，則PD=1﹣x，PQ=x．

∵∠PDQ=45°，

∴PD=PQ，

即1﹣x=x，

∴x=﹣1，

（2）①如圖1，連接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，過(guò)點(diǎn)Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ1為等邊三角形，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，

∴Q1F=Q1E=．

在四邊形ABPQ1中，

∵∠ABQ1=30°，

∴∠APQ1=150°，

∴△PEQ1為含30°的直角三角形，

∴PE=Q1E=．

∵AE=，

∴x=AP=AE﹣PE=2﹣．

②如圖2，連接BQ2，AQ2，過(guò)點(diǎn)Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，連接BP，過(guò)點(diǎn)Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2=BQ2．∵AB=BQ2，∴△ABQ2為等邊三角形．在四邊形ABQP中，∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ2=60°，∴∠ABP=30°，

∴x=AP=．

③如圖4，連接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，過(guò)點(diǎn)Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延長(zhǎng)線于P，連接BP，過(guò)點(diǎn)Q1，作EF⊥AD于E，此時(shí)Q3在EF上，不妨記Q3與F重合．

∵△BCQ1為等邊三角形，△BCQ3為等邊三角形，BC=1，

∴Q1Q2=，Q1E=，

∴EF=．

在四邊形ABQ3P中

∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，

∴∠EPF=30°，

∴EP=EF=．

∵AE=，

∴x=AP=AE+PE=+2．

圖1 圖2

綜上所述：△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為2﹣， ，2+．

點(diǎn)睛:本題第一問(wèn)非常基礎(chǔ)，難度較低．第二問(wèn)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的原因，思路不易找到，這里就需要做題時(shí)充分分析已知條件，尤其是新給出的條件．其中求邊長(zhǎng)是勾股定理的重要應(yīng)用，是很重要的考點(diǎn)．第三問(wèn)是一個(gè)難度非常高的題目，可以利用尺規(guī)作圖的思想將滿足要求的點(diǎn)Q找全．另外求解各個(gè)P點(diǎn)也是考察三角函數(shù)及勾股定理的綜合應(yīng)用，有著極高的難度．