Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，

∴ ，

解得： ，

∴y= x2﹣ x+3；

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）

（2）

解：假設(shè)存在，分兩種情況：

①當(dāng)△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠PAB=90°，

如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)D為y軸上的點(diǎn)，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3），

∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+3，

∴y= x2﹣ x+3=﹣x+3，

∴x2﹣3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3，y=0（不合題意舍去），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴點(diǎn)P、C、D重合，

②當(dāng)△PAB是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠PBA=90°，

如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，

由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，

∴DF=4，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，5），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），

∴直線BD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+5，

∴y= x2﹣ x+3=﹣x+5，

∴x2﹣3x﹣4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4（舍），

∴y=6，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣1，6），（0，3）；

（3）

解：如圖3：作EM⊥AO于M，

∵直線AC的解析式為：y=﹣x+3，

∴tan∠OAC=1，

∴∠OAC=45°，

∴∠OAC=∠OAF=45°，

∴AC⊥AF，

∵S△FEO= OE×OF，

OE最小時(shí)S△FEO最小，

∵OE⊥AC時(shí)OE最小，

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直線CA上，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x+3），

∴x=﹣x+3，

解得：x= ，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）從當(dāng)△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠PAB=90°與當(dāng)△PAB是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；（3）根據(jù)當(dāng)OE∥AB時(shí)，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．