【題目】如圖,⊙O的直徑FD⊥弦AB于點(diǎn)HE上一動點(diǎn),連結(jié)FE并延長交AB的延長線于點(diǎn)C,AB=8,HD=2

1)求⊙O的直徑FD

2)在E點(diǎn)運(yùn)動的過程中,EFCF的值是否為定值?若是,求出其定值;若不是,請說明理由;

3)當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)時,連接AEDF于點(diǎn)G,求△FEA的面積.

【答案】1DF=10;(2)是,EFCF=80;(3SFEA=30

【解析】分析:(1)連接OA,由垂徑定理得到AH=AB=4,設(shè)OA=x,在RtOAH中,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)垂徑定理得到,根據(jù)圓周角定理得到∠BAF=AEF,推出FAE∽△FCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,推出AF=EFCF,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論;3)連接OE,由E點(diǎn)是的中點(diǎn),得到∠FAE=45°,EOF=90°,于是得到∠EOH=AHG,推出OGE∽△HGA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,求得OG= ,得到FG=OF+OG=,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

本題解析:(1)連接OA,∵直徑FD⊥弦AB于點(diǎn)H,∴AH=AB=4,設(shè)OA=x,

在Rt△OAH中,AO2=AH2+,即x2=42+,∴x=5,

∴DF=2OA=10;

(2)是,

∵直徑FD⊥弦AB于點(diǎn)H,∴ ,∴∠BAF=∠AEF,

∵∠AFE=∠CFA,∴△FAE∽△FCA,∴,∴AF2=EFCF,

在Rt△AFH中,AF2=AH2+FH2=44+82=80,

∴EFCF=80;

(3)連接OE,∵E點(diǎn)是 的中點(diǎn),∴∠FAE=45°,∠EOF=90°,

∴∠EOH=∠AHG,∵∠OGE=∠HGA,∴△OGE∽△HGA,

,即=,∴OG=,∴FG=OF+OG=,

∴S△FEA=S△EFG+S△AFG=FGOE+FGAH=××(4+5)=30.

練習(xí)冊系列答案
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