Question

8．如圖，△ABC內接于圓O，點D在半徑OB的延長線上，∠BCD=∠A=30°．圓O半徑長為1，則由弧BC、線段CD和BD所圍成的陰影部分面積是$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$．（結果保留π和根號）．

Answer 1

分析 由已知可證得OC⊥CD，OC為圓的半徑所以直線CD與⊙O相切，根據已知可求得OC，CD的長，則利用S_陰影=S_△COD-S_扇形OCB求得陰影部分的面積．

解答 解：∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半徑，
∴直線CD與⊙O相切，
∴△OCD是Rt△，∠COB=60°，
∵OC=1，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵S_扇形OCB=$\frac{π}{6}$，
∴S_陰影=S_△COD-S_扇形OCB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$．

點評 此題主要考查了對切線的性質及扇形的面積公式，關鍵是掌握切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及扇形的面積計算公式．