Question

（1）操作：如圖1所示，O是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a．
（2）嘗試：如圖2、3，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心角放在邊長(zhǎng)為a的正三角形或邊長(zhǎng)為a的正五邊形的中心點(diǎn)處，并將紙板繞O旋轉(zhuǎn)．當(dāng)扇形紙板的圓心角為

 

時(shí)，正三角形邊被紙覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為

 

時(shí)，正五邊形的邊長(zhǎng)被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度也為定值a．
（3）探究：一般地，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，若將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角為

 

時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點(diǎn)M、N，連結(jié)OA、OD，根據(jù)ASA定理得出△AMO≌△DNO，故可得出AM=DN，由此可得出結(jié)論；
（2）連接OB，OC，同（1）可得△OCE≌△OBD時(shí)，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC為定值，故可得出圓心角的度數(shù)；
（3）根據(jù)（1）、（2）即可直接得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖所示，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點(diǎn)M、N，
連結(jié)OA、OD．
∵四邊形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO=45°，
又∵∠MON=90°，
∴∠AOM=∠DON，
在△AMO與△DNO中，

∠MAO=∠NDO OA=OD ∠AOM=∠DON

，
∴△AMO≌△DNO（ASA），
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN=AD=a．
特別地，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A（點(diǎn)B）重合時(shí)，點(diǎn)N必與點(diǎn)D（點(diǎn)A）重合，
此時(shí)AM+AN仍為定值a．
故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a．

（2）在等邊△ABC中，連接OB，OC，當(dāng)△OCE≌△OBD時(shí)，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC為定值．此時(shí)∠DOE=∠BOC=360°÷3=120°．
同理在正五邊形中，∠FOG=∠DOE=360°÷5=72°．

（3）由（1）、（2）可知，圓心角為

360°

n

是定值．
故答案為：120°；72°；

360°

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、正三角形、正五邊形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．