【題目】如圖,點(diǎn)P在⊙O的直徑BA延長線上,PC與⊙O相切,切點(diǎn)為C,點(diǎn)D在⊙O上,連接PD、BD,已知PC=PD=BC.下列結(jié)論:
①PD與⊙O相切;
②四邊形PCBD是菱形;
③PO=AB;
④∠PDB=120°.
其中,正確的個(gè)數(shù)是( )

A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)

【答案】A
【解析】解:①連接CO,DO,

∵PC與⊙O相切,切點(diǎn)為C,
∴∠PCO=90°,
在△PCO和△PDO中,
,
∴△PCO≌△PDO(SSS),
∴∠PCO=∠PDO=90°,
∴PD與⊙O相切,
故①正確;
②由①得:∠CPB=∠BPD,
在△CPB和△DPB中,
,
∴△CPB≌△DPB(SAS),
∴BC=BD,
∴PC=PD=BC=BD,
∴四邊形PCBD是菱形,
故②正確;
③連接AC,
∵PC=CB,
∴∠CPB=∠CBP,
∵AB是⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,
在△PCO和△BCA中,
,
∴△PCO≌△BCA(ASA),
∴AC=CO,
∴AC=CO=AO,
∴∠COA=60°,
∴∠CPO=30°,
∴CO= PO= AB,
∴PO=AB,
故③正確;
④∵四邊形PCBD是菱形,∠CPO=30°,
∴DP=DB,則∠DPB=∠DBP=30°,
∴∠PDB=120°,
故④正確;
正確個(gè)數(shù)有4個(gè),
故答案為:A.
①連接CO,DO,在△PCO和△PDO中,根據(jù)邊邊邊可得△PCO≌△PDO,由全等三角形的性質(zhì)可得∠PCO=∠PDO=90°,根據(jù)切線的判斷可得PD與⊙O相切,則①符合題意;在△CPB和△DPB中,根據(jù)邊角邊可證△CPB≌△DPB,則BC=BD,結(jié)合已知條件可得PC=PD=BC=BD,由菱形的判定可得四邊形PCBD是菱形,所以②符合題意;在△PCO和△BCA中,用角邊角可證△PCO≌△BCA,由全等三角形的性質(zhì)可得AC=CO,那么有AC=CO=AO,所以∠COA=60°,∠CPO=30°,根據(jù)直角三角形中,30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CO= PO= AB,所以PO=AB,故③符合題意;根據(jù)四邊形PCBD是菱形可得DP=DB,結(jié)合∠CPO=30°可得∠DPB=∠DBP=30°,則∠PDB=120°,所以④符合題意。所以符合題意的選項(xiàng)是A。

練習(xí)冊系列答案
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①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA= AC;④DE是⊙O的切線,正確的個(gè)數(shù)是( )

A.1 個(gè)
B.2個(gè)
C.3 個(gè)
D.4個(gè)

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