【題目】已知:拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)A(7,﹣3),與x軸正半軸交于點(diǎn)B(m,0)、C(6m、0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D.
(1)求m的值;
(2)求這條拋物線的表達(dá)式;
(3)點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在x軸上,當(dāng)∠PQD=90°且PQ=2DQ時(shí),求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:當(dāng)x=0時(shí),y=﹣3,
∴D(0,﹣3).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣m)(x﹣6m).
把點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得:6am2=﹣3①,a(7﹣m)(7﹣6m)=﹣3②,
∴a(7﹣m)(7﹣6m)=6am2.
∵a≠0,
∴(7﹣m)(7﹣6m)=m2.
解得:m=1
(2)
解:∵6am2=﹣3,
∴a=﹣ =﹣ .
將a=﹣ ,m=1代入得:y=﹣ x2+ x﹣3.
∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2+ x﹣3
(3)
解:如圖所示:過點(diǎn)P作PE⊥x軸,垂足為E.
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0)則OQ=﹣a
﹣∵∠DQP=90°,
∴∠PQO+∠OQD=90°.
又∵∠ODQ+∠DQO=90°,
∴∠PQE=∠ODQ.
又∵∠PEQ=∠DOQ=90°,
∴△ODQ∽△EQP.
∴ = = = ,即 = = ,
∴QE=6,PE=﹣2a.
∴P的坐標(biāo)為(a+6,﹣2a)
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:﹣ (a+6)2+ (a+6)﹣3=﹣2a,整理得:a2+a=0,
解得a=﹣1或a=0.
當(dāng)a=﹣1時(shí),Q(﹣1,0),P(5,2);當(dāng)a=0時(shí),Q(0,0),P(6,0).
綜上所述,Q(﹣1,0),P(5,2)或者Q(0,0),P(6,0)
【解析】(1)先求得點(diǎn)D的坐標(biāo),然后設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣m)(x﹣6m),把點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得m的值;(2)由6am2=﹣3,m=1可求得a的值,然后代入拋物線的解析式即可;(3)過點(diǎn)P作PE⊥x軸,垂足為E.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0)則OQ=﹣a,然后證明△ODQ∽△EQP,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得QE=6,PE=﹣2a,則P的坐標(biāo)為(a+6,﹣2a),將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,垂足分別為E、F,AE、CF分別與BD相交于點(diǎn)G、H,聯(lián)結(jié)AH、CG.
求證:四邊形AGCH是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC和△DEF,點(diǎn)E在BC邊上,點(diǎn)A在DE邊上,邊EF和邊AC相交于點(diǎn)G.如果AE=EC,∠AEG=∠B,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定△DEF與△ABC一定相似的是( )
A. =
B. =
C. =
D. =
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把正整數(shù)1,2,3,4,……,2009排列成如圖所示的一個(gè)表
(1)用一正方形在表中隨意框住4個(gè)數(shù),把其中最小的數(shù)記為x,另三個(gè)數(shù)用含x的式子表示出來,從小到大依次是 , , 。
(2)當(dāng)被框住的4個(gè)數(shù)之和等于416時(shí),x的值是多少?
(3)被框住的4個(gè)數(shù)之和能否等于622?如果能,請求出此時(shí)x的值;如果不能,請說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,點(diǎn)M是CE的中點(diǎn),連接BM.
(1)如圖①,點(diǎn)D在AB上,連接DM,并延長DM交BC于點(diǎn)N,可探究得出BD與BM的數(shù)量關(guān)系為______________;
(2)如圖②,點(diǎn)D不在AB上,(1)中的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請證明;如果不成立,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】濰坊到濟(jì)南的距離約為210km,小劉開著小轎車,小張開著大貨車,都從濰坊去濟(jì)南,小劉比小張晚出發(fā)1小時(shí),最后兩車同時(shí)到達(dá)濟(jì)南,已知小轎車的速度是大貨車速度的1.5倍.
(1)求小轎車和大貨車的速度各是多少?(列方程解答)
(2)當(dāng)小劉出發(fā)時(shí),求小張離濟(jì)南還有多遠(yuǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AE∥CF,且分別交對角線BD于點(diǎn)E,F.
(1)求證:△AEB≌△CFD;
(2)連接AF,CE,若∠AFE=∠CFE,求證:四邊形AFCE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一條拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn),其頂點(diǎn)P在折線C﹣D﹣E上移動,若點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)分別為(﹣1,4)、(3,4)、(3,1),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最小值為1,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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