Question

【題目】如圖，在中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，分別交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接DE交線段OA于點(diǎn)F．

（1）試猜想直線DH與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若AE=AH，EF=4，求DF的值．

Answer 1

【答案】（1）直線與⊙O相切，理由見(jiàn)解析；（2）DF=6

【解析】

（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，可得，即可證明OD//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ODH=90°，即可的答案；

（2）連接，由圓周角定理可得∠B=∠E，即可證明∠C=∠E，可得CD=DE，由AB是直徑可得∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得HE=CH，BD=CD，可得OD是△ABC的中位線，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案.

（1）直線與⊙O相切，理由如下：

如圖，連接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

，

∵，

∴∠ODH=∠DHC=90°，

∴DH是⊙O的切線.

（2）如圖，連接，

∵∠B和∠E是所對(duì)的圓周角，

∴，

∵

∴

∴DC＝DE

∵，

∴HE=CH

設(shè)AE=AH=x，則，，

∵是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°

∵AB=AC

∴BD＝CD

∴OD是的中位線，

，，

∴，

∴，

∵EF=4

∴DF=6