Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D．

（1）求證：DP⊥AP；

（2）若PD=，PC=1，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接BC、OD，則可判斷OD∥AP，再由切線的性質(zhì)可得∠OPD=90°，繼而得出結(jié)論；

（2）連接OC、CD，由題意可得∠PDC=30°，∠CDO=60°．求出OD的長，∠COD的度數(shù)，根據(jù)S陰影=S梯形ODPC﹣S扇形OCD計(jì)算即可．

（1）連接BC、OD，則∠ACB=90°（圓周角定理）．

∵點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴OD∥AP．

又∵PD是⊙O切線，∴∠OPD=90°，∴∠P=90°，∴DP⊥AP．

（2）連接OC、CD．

∵PD=，PC=1，∴∠PDC==，CD==2，∴∠PDC=30°，∴∠CDO=60°．

∵OC=OD，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD=∠DOB=∠AOC=60°，∴△AOC是等邊三角形，∴AO=OC=AC=OD=CD=2，則S陰影=S梯形ODPC﹣S扇形OCD=×（OD+CP）×PD﹣= =﹣π=﹣π．