【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O 的弦，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線于點E，連接AC并延長，過點E作EG⊥AC的延長線于點G，并且∠GCD= ∠GAB.

（1）求證： ；

（2）若AB=10，sin∠ADC=，求AG的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）12

【解析】（1）證明：∵∠GCD= ∠GAB,∴CD∥AB.

∴∠CDA= ∠DAB.∴.

（2）連接BC，交AE于點M.

∵ AB是⊙O直徑，∴∠ACB = 90°．

∵EG⊥AC的延長線于點G,

∴∠EGA = 90°．∴CM∥EG.

∵ BE是⊙O的切線, ∴BE⊥AB于點B.

∵,∴ ∠1= ∠2．∴AM=BM.

∵∠1+∠3= ∠2+∠4,

∴ ∠3= ∠4．∴ BM= EM．∴AM=EM.∴M是AE的中點.

∵CM∥EG,∴C是AG的中點.∴AC=CG.

∵sin∠ADC=，∴sin∠ABC=.

在Rt△ABC中，sin∠ABC=，AB=10.

∴ AC=6．∴CG.=6. ∴AG.=12.

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