【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,D是弧BC的中點(diǎn),DE⊥AC交AC的延長線于E,⊙O的切線BF交AD的延長線于F.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=4,⊙O的半徑為5.求BF的長.
【答案】(1)見解析;(2)5.
【解析】
(1)連接BC、OD,由D是弧BC的中點(diǎn),可知:OD⊥BC;由OB為O的直徑,可得:BC⊥AC,根據(jù)DE⊥AC,可證OD⊥DE,從而可證DE是O的切線;
(2)在Rt△ABC中,運(yùn)用勾股定理可求得AC的長度,運(yùn)用切割線定理可將AE的長求出,根據(jù)△AED∽△ABF,可將BF的長求出.
證明:(1)連接OD,BC,OD與BC相交于點(diǎn)G,
∵D是弧BC的中點(diǎn),
∴OD垂直平分BC,
∵AB為⊙O的直徑,
∴AC⊥BC,
∴OD∥AE,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD為⊙O的半徑,
∴DE是⊙O的切線;
(2)由(1)知:OD⊥BC,AC⊥BC,DE⊥AC,
∴四邊形DECG為矩形,
∴CG=DE=4,
∴BC=8,
∵⊙O的半徑為5,
∴AB=10,
∴AC==6,
OG=AC=3,GD=2,在矩形GDEC中 CE=GD=2,
∴AE=8.
∵D為弧BC的中點(diǎn),
∴∠EAD=∠FAB,
∵BF切⊙O于B,
∴∠FBA=90°.
又∵DE⊥AC于E,
∴∠E=90°,
∴∠FBA=∠E,
∴△AED∽△ABF,
∴,
∴
∴BF=5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在熱氣球A上看到橫跨河流兩岸的大橋BC,并測得B,C兩點(diǎn)的俯角分別為45°,36°.已知大橋BC與地面在同一水平面上,其長度為100m.請求出熱氣球離地面的高度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).參考數(shù)據(jù):tan36°≈0.73.
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【題目】若一個(gè)三位數(shù)滿足條件:其十位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍與個(gè)位數(shù)字的差,則稱這樣的三位數(shù)為“十全數(shù)”,將“十全數(shù)”s的百位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置,交換后所得的新數(shù)叫做s的“十美數(shù)”,如231是一個(gè)“十全數(shù)”,321是231的“十美數(shù)”
(1)證明:任意一個(gè)“十全數(shù)”s的“十美數(shù)”都能被3整除;
(2)已知m為“十全數(shù)”,n是m的“十美數(shù)”,若m的兩倍與n的差能被13整除,求m的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),過點(diǎn)作一條直線分別與、交于點(diǎn)、.點(diǎn)、在直線上,且,圖中全等的三角形共有______對.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,ACB和DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90,連接AE、BD交于點(diǎn)O. AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N.
(1)如圖①,求證:AE=BD;
(2)如圖②,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖②中四對全等的直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
(1)如圖1,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn),P是BC延長線上一點(diǎn),N是∠DCP的平分線上一點(diǎn).若∠AMN=90°,求證:AM=MN.
下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.
證明:在邊AB上截取AE=MC,連ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE.
(下面請你完成余下的證明過程)
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2),N是∠ACP的平分線上一點(diǎn),則當(dāng)∠AMN=60°時(shí),結(jié)論AM=MN是否還成立?請說明理由.
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD……X”,請你作出猜想:當(dāng)∠AMN= °時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案,不需要證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD和CE是高,∠ACE=45°,點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),AD與FE,CE分別交于點(diǎn)G、H,∠BCE=∠CAD,有下列結(jié)論:①圖中存在兩個(gè)等腰直角三角形;②△AHE≌△CBE;③BCAD=AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正確的個(gè)數(shù)有( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,已知∠1=∠2,則下列條件中不一定能使△ABC≌△ABD的是( )
A. AC=AD B. BC=BD C. ∠C=∠D D. ∠3=∠4
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【題目】已知、、都是實(shí)數(shù),且,則
A. 只有最大值 B. 只有最小值
C. 既有最大值又有最小值 D. 既無最大值又無最小值
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