Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC，過點C作CE⊥DB，垂足為點E，直線AB與CE交于點F．
（1）求證：CF為⊙O的切線．
（2）當(dāng)∠CAB=30°時，從點A、C、F、D為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)好已知條件得出∠BOC=∠ABD，得出OC∥DE，證出CE⊥OC，即可得出CF為⊙O的切線．
（2）指出∠CFA=30°=∠BAC，得出AC=CF，由圓周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，證出∠ABC=∠ABD，得出$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，證出AC=AD，因此△ACD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB垂直平分CD，由垂直平分線的性質(zhì)得出DF=CF，證出AC=AD=CF=DF，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1所示：
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ABD，
∴OC∥DE，
∵CE⊥DB，
∴CE⊥OC，
∴CF為⊙O的切線．
（2）解：當(dāng)∠CAB=30°，以點A、C、F、D為頂點的四邊形是菱形．理由如下：
連接AD、CD、DF，如圖2所示：
由（1）得：∠BOC=2∠BAC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠ADC=60°，
∵CE⊥OC，
∴∠OCF=90°，
∴∠CFA=30°=∠BAC，
∴AC=CF，
∵CE⊥DE，
∴∠ABD=∠EBF=90°-30°=60°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°=∠ABD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴AC=AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AB垂直平分CD，
∴DF=CF，
∴AC=AD=CF=DF，
∴四邊形ACFD是菱形；
故答案為：30°．

點評 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要證明等邊三角形和運用線段垂直平分線的性質(zhì)才能得出結(jié)論．