【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E(BE>EC),且BD=2.過點(diǎn)DDFBC,交AB的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證:DF為⊙O的切線;

(2)若∠BAC=60°,DE=,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)詳見解析;(2)9﹣2π.

【解析】

(1)連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到ODBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ODDF,根據(jù)切線的判定定理證明;
(2)連結(jié)OB,連結(jié)ODBCP,作BHDFH,證明OBD為等邊三角形,得到∠ODB=60°,OB=BD=2,根據(jù)勾股定理求出PE,證明ABE∽△AFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積=BDF的面積-弓形BD的面積計(jì)算.

證明:(1)連結(jié)OD,

AD平分∠BAC交⊙OD,

∴∠BAD=CAD,

ODBC,

BCDF,

ODDF,

DF為⊙O的切線;

(2)連結(jié)OB,連結(jié)ODBCP,作BHDFH,

∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,

∴∠BAD=30°,

∴∠BOD=2BAD=60°,

∴△OBD為等邊三角形,

∴∠ODB=60°,OB=BD=2 ,

∴∠BDF=30°,

BCDF,

∴∠DBP=30°,

RtDBP中,PD=BD= ,PB=PD=3,

RtDEP中,∵PD=,DE=,

PE= =2,

OPBC,

BP=CP=3,

CE=3﹣2=1,

∵∠DBE=CAE,BED=AEC,

∴△BDE∽△ACE,

AE:BE=CE:DE,即AE:5=1: ,

AE=

BEDF,

∴△ABE∽△AFD,

,即 ,

解得DF=12,

RtBDH中,BH=BD=,

∴陰影部分的面積=BDF的面積﹣弓形BD的面積=BDF的面積﹣(扇形BOD的面積﹣BOD的面積)= =9﹣2π.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題,安全隱患主要是超速和超載.某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計(jì)了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn):先在公路旁邊選取一點(diǎn)C,再在筆直的車道上確定點(diǎn)D,使CD與垂直,測得CD的長等于21米,在上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A、B,使CAD=300,CBD=600

(1)求AB的長(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):);

(2)已知本路段對校車限速為40千米/小時,若測得某輛校車從A到B用時2秒,這輛校車是否超速?說明理由.

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1)若BE=3,CF=2,求EF的長;

(2)如圖(2)所示,若∠ABC的平分線BD與△ABC的外角∠ACG的平分線CD相交于點(diǎn)D,其它條件不變,請寫出EF,BECF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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【題目】中,,,的兩條角平分線,且交于點(diǎn)

1)如圖1,用等式表示,這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

小東通過觀察、實(shí)驗(yàn),提出猜想:.他發(fā)現(xiàn)先在上截取,使,連接,再利用三角形全等的判定和性質(zhì)證明即可.

①下面是小東證明該猜想的部分思路,請補(bǔ)充完整:

)在上截取,使,連接,則可以證明 全等,判定它們?nèi)鹊囊罁?jù)是 ;

)由,,的兩條角平分線,可以得出 °;

②請直接利用),)已得到的結(jié)論,完成證明猜想的過程.

2)如圖2,若 ,求證:

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【題目】在不透明的袋子中有四張標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的卡片,小明、小華兩人按照各自的規(guī)則玩抽卡片游戲。

小明畫出樹形圖如下:

小華列出表格如下:

第一次

第二次

1

2

3

4

1

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

2

(1,2)

(2,2)

(4,2)

3

(1,3

(2,3)

(3,3)

(4,3)

4

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

回答下列問題:

(1)根據(jù)小明畫出的樹形圖分析,他的游戲規(guī)則是:隨機(jī)抽出一張卡片后 (填放回不放回),再隨機(jī)抽出一張卡片;

(2)根據(jù)小華的游戲規(guī)則,表格中表示的有序數(shù)對為 ;

(3)規(guī)定兩次抽到的數(shù)字之和為奇數(shù)的獲勝,你認(rèn)為淮獲勝的可能性大?為什么?

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