Question

5．如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E．
（1）求證：BD=BE．
（2）若∠DBC=30°，AB=4，求△BED的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD，然后證明四邊形ABEC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AC=BE，從而得證；
（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分求出BD的長度，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度，然后求出DE，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC=BE，
∴BD=BE；
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，
∵∠DBC=30°，BD=BE，
∴CD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，
∴△BED的周長=BD+BE+DE=8+8+8=24．．

點評 本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．