Question

【題目】某產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤＝銷售額－生產(chǎn)費(fèi)用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）W＝，年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；（3）1080萬元

【解析】（1）先設(shè)出函數(shù)解析式，再通過待定系數(shù)法即可得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)“毛利潤＝銷售額－生產(chǎn)費(fèi)用”可求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出年產(chǎn)量的值及最大的毛利潤；（3）由y＝360，得出x的值，再通過關(guān)于w的二次函數(shù)的增減性即可得出答案.

解：（1），

（2）W＝

＝

＝

＝

∵<0，

∴當(dāng)x＝75時，W有最大值1125

∴年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元

（3）令y＝360，得，解得x＝±60（負(fù)值舍去）

由圖象可知，當(dāng)0<y≤360時，0<x≤60

由W＝的性質(zhì)可知，

當(dāng)0<x≤60時，W隨x的增大而增大

∴當(dāng)x＝60時，W有最大值1080

∴今年最多可獲得毛利潤1080萬元