如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點P是y軸上一動點,以線段AP為一邊,在其一側(cè)作等邊三角形APQ,當點P運動到點O時,點Q記作點B.
(1)求點B的坐標;
(2)當點P在y軸上運動(P不與O重合)時,請說明∠ABQ的大小是定值;
(3)是否存在點P,使得以A,O,Q,B為頂點的四邊形是梯形?若存在,請寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
考點:相似形綜合題
專題:
分析:(1)根據(jù)題意作輔助線過點B作BC⊥y軸于點C,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出點B的坐標,
(2)根據(jù)∠PAQ=∠OAB=60°,可知∠PAO=∠QAB,得出△APO≌△AQB恒成立,得出當點P在x軸上運動(P不與Q重合)時,∠ABQ為定值90°,
(3)根據(jù)點P在y的正半軸還是負半軸兩種情況討論,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果.
解答:解:(1)如圖1,過點B作BC⊥OA,垂足為C,
∵△OAB為等邊三角形,A的坐標(2,0)
∴BO=OA=2,OC=1,∠BOC=60°,
∴BC=
3

∴B的坐標(1,
3
)


(2)∵△OAB與△APQ為等邊三角形
∴∠BAO=∠PAQ=60°
∴∠BAQ=∠OAP,
在△APO和△AQB中,
AP=AQ
∠PAO=∠QAB
AO=AB

∴△APO≌△AQB(SAS),
∴∠ABQ=∠AOP=90°,
∴當點P在x軸上運動(P不與O重合)時,∠ABQ為定值90°;

(3)解:由(2)可知,點Q總在過點B且與AB垂直的直線上,可見AO與BQ不平行.
①如圖2,當點P在y軸負半軸上時,點Q在點B的左方,
此時,若AB∥OQ,四邊形AOQB即是梯形,
當AB∥OQ時,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
又∵OB=OA=2,可求得BQ=
3
,由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=
3
,
∴此時P的坐標為(0,-
3
).

②如圖3,當點P在y軸正半軸上時,點Q在B的上方,
此時,若AQ∥OB,四邊形AOBQ即是梯形,
當AQ∥OB時,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°.
又∵AB=2,可求得BQ=2
3
,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=2
3
,
∴此時P的坐標為((0,2
3
).
綜上,P的坐標為P的坐標為(0,-
3
)或者為(0,2
3
).
點評:本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)以及梯形的性質(zhì),注意利用分類討論思想得出結(jié)論是解題關(guān)鍵.
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3-2x>-1
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從圖(1)中得出的結(jié)論:
 

從圖(2)中得出的結(jié)論:
 

從圖(3)中得出的結(jié)論:
 

從圖(4)中得出的結(jié)論:
 

②請你從四個結(jié)論中任選一個,說明你所探究的結(jié)論的正確性.選擇結(jié)論
 
,理由如下:

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3
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