Question

17．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，D為AB上一動點，D點從A點以1個單位/秒的速度向B點運動，運動到B點即停止，經(jīng)過D點作DE∥BC，交AC于點E，以DE為一邊在BC一側(cè)作正方形DEFG，在D點運動過程中，設(shè)正方形DEFG與△ABC的重疊面積為S，運動時間為t秒，如圖2是s與t的函數(shù)圖象．
（1）求BC的長；
（2）求a的值；
（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖中信息得到t=2時，正方形DEFG的邊FG在BC邊上，設(shè)DE=4x，在△BDG中表示出DM，BM利用勾股定理解決即可．
（2）a的值就是圖1中的正方形面積．
（3）分兩種情形①0＜t≤2，②2＜t≤5求出重疊部分面積即可．

解答 解：（1）由題意t=2時，正方形DEFG在如圖位置，此時AD=2，BD=3，設(shè)DE=4x，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{4a}{BC}=\frac{2}{5}$，
∴BC=10，x，根據(jù)對稱性可知BG=FC=3x，
在RT△BDG中，∵BD²=DG²+BG²，
∴9=（3x）²+（4x）²，
∵x＞0，
∴x=$\frac{3}{5}$，
∴BC=10x=6，
（2）由圖1可知t=2時，a的值就是圖1中的正方形面積，即a=DE²=$\frac{144}{25}$．
（3）在圖2中，作AH⊥BC于H，交DE于K，由（1）可知AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵DK∥BH，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DK}{BH}$，
∴$\frac{t}{5}=\frac{DK}{3}$，
∴DK=$\frac{3}{5}$t，DE=2DK=$\frac{6}{5}$t，
當0＜t≤2時，s=$\frac{36}{25}{t}^{2}$，
當2＜t≤5時，∵DM∥AH，
∴$\frac{DM}{AH}=\frac{BD}{BA}$，
∴$\frac{DM}{4}=\frac{5-t}{5}$，
∴DM=$\frac{4}{5}（5-t）$，
∴s=$\frac{4}{5}$（5-t）•$\frac{6}{5}$t=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t．
綜上所述s=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{36}{25}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{24}{25}{t}^{2}+\frac{24}{5}}&{（2＜t≤5）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了勾股定理、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及面積的計算，本題難度較大，解題的關(guān)鍵理解題意是畫出圖形．