Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題．

專題：壓軸題．

分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點均在坐標軸上，故設一般式解答和設交點式（兩點式）解答均可．

（2）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關系，再結合拋物線解析式即可求解．

（3）根據(jù)拋物線上點的坐標特點，利用勾股定理求出相關邊長，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角，便可解答．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，3），

∴設拋物線解析式為y=ax²+bx+3（a≠0），

根據(jù)題意，得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3．

（2）存在．

由y=﹣x²+2x+3得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1．

①若以CD為底邊，則PD=PC，

設P點坐標為（x，y），根據(jù)兩點間距離公式，

得x²+（3﹣y）²=（x﹣1）²+（4﹣y）²，

即y=4﹣x．

又P點（x，y）在拋物線上，

∴4﹣x=﹣x²+2x+3，

即x²﹣3x+1=0，

解得x₁=，x₂=＜1，應舍去，

∴x=，

∴y=4﹣x=，

即點P坐標為．

②若以CD為一腰，

∵點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，

此時點P坐標為（2，3）．

∴符合條件的點P坐標為或（2，3）．

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理，

得CB=，CD=，BD=，

∴CB²+CD²=BD²=20，

∴∠BCD=90°，

設對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，在Rt△DCF中，

∵CF=DF=1，

∴∠CDF=45°，

由拋物線對稱性可知，∠CDM=2×45°=90°，點坐標M為（2，3），

∴DM∥BC，

∴四邊形BCDM為直角梯形，

由∠BCD=90°及題意可知，

以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；

以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在．

綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）．

點評：此題是一道典型的“存在性問題”，結合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、等腰梯形的性質(zhì)，考查了它們存在的條件，有一定的開放性．