Question

7．如圖，兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．
（1）求證：MB∥CF；
（2）若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長．

Answer 1

分析 （1）如答圖1所示，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可；
（2）先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；

解答 解：（1）如圖1，延長AB交CF于點D，
則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴點B為線段AD的中點，
又∵點M為線段AF的中點，
∴BM為△ADF的中位線，
∴BM∥CF；

（2）如圖2，
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE-CB=2a-a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

點評 本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．