【題目】若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形.
(1)如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求證:BD是梯形ABCD的和諧線;
(2)如圖2,在12×16的網(wǎng)格圖上(每個小正方形的邊長為1)有一個扇形BAC,點A.B.C均在格點上,請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D,使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線,并畫出相應(yīng)的和諧四邊形;
(3)四邊形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四邊形ABCD的和諧線,求∠BCD的度數(shù).
【答案】(1)詳見解析;(2)作圖見解析;(3)135°或90°或45°.
【解析】
(1)要證明BD是四邊形ABCD的和諧線,只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以;
(2)根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點到頂點的距離相等,只要D在中點時構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形;連接BC,在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD,構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形,
(3)由AC是四邊形ABCD的和諧線,可以得出△ACD是等腰三角形,從圖4,圖5,圖6三種情況運用等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù).
(1)∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADB=∠DBC.
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ADB,
∴△ADB是等腰三角形.
在△BCD中,∠C=75°,∠DBC=30°,
∴∠BDC=∠C=75°,
∴△BCD為等腰三角形,
∴BD是梯形ABCD的和諧線;
(2)由題意作圖為:圖2,圖3
(3)∵AC是四邊形ABCD的和諧線,
∴△ACD是等腰三角形.
∵AB=AD=BC,
如圖4,當(dāng)AD=AC時,
∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形,
∴∠BAC=∠BCA=60°.
∵∠BAD=90°,
∴∠CAD=30°,
∴∠ACD=∠ADC=75°,
∴∠BCD=60°+75°=135°.
如圖5,當(dāng)AD=CD時,
∴AB=AD=BC=CD.
∵∠BAD=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°
如圖6,當(dāng)AC=CD時,過點C作CE⊥AD于E,過點B作BF⊥CE于F,
∵AC=CD.CE⊥AD,
∴AE=AD,∠ACE=∠DCE.
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,
∴四邊形ABFE是矩形.
∴BF=AE.
∵AB=AD=BC,
∴BF=BC,
∴∠BCF=30°.
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°,
∴∠BCD=15°×3=45°.
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【題目】點G為△ABC的重心(△ABC三條中線的交點),以點G為圓心作⊙G與邊AB,AC相切,與邊BC相交于點H,K,若AB=4,BC=6,則HK的長為( 。
A. B. C. D.
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【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)與反比例函數(shù)(為常數(shù),且)的圖像交于、兩點,它們的部分圖像如圖所示,的面積是6.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式;
(2)請直接寫出不等式的解集.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸,y軸分別交于A,B兩點,點為直線上一點,直線過點C.
求m和b的值;
直線與x軸交于點D,動點P從點D開始以每秒1個單位的速度向x軸負(fù)方向運動設(shè)點P的運動時間為t秒.
①若點P在線段DA上,且的面積為10,求t的值;
②是否存在t的值,使為等腰三角形?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知直線y=x+2與y軸交于點A,與雙曲線y=有一個交點為B(2,3),將直線AB向下平移,與x軸.y軸分別交于點C,D,與雙曲線的一個交點為P,若,則點D的坐標(biāo)為________.
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【題目】如圖,3×3的方格分為上中下三層,第一層有一枚黑色方塊甲,可在方格A、B、C中移動,第二層有兩枚固定不動的黑色方塊,第三層有一枚黑色方塊乙,可在方格D、E、F中移動,甲、乙移入方格后,四枚黑色方塊構(gòu)成各種拼圖.
(1)若乙固定在E處,移動甲后黑色方塊構(gòu)成的拼圖是軸對稱圖形的概率是多少;
(2)若甲、乙均可在本層移動,用畫樹狀圖法或列表法求出黑色方塊所構(gòu)成拼圖是軸對稱圖形的概率.
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【題目】如圖,AB、CD為兩個建筑物,建筑物AB的高度為100米,從建筑物AB的頂點A處測得建筑物CD的頂部C處的俯角∠EAC為30°,測得建筑物CD的底部D處的俯角∠EAD為45°.
(1)求兩建筑物底部之間水平距離BD的長度;
(2)求建筑物CD的高度(結(jié)果保留根號).
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【題目】如圖所示,一動點從半徑為2的上的點出發(fā),沿著射線方向運動到上的點處,再向左沿著與射線夾角為的方向運動到上的點處;接著又從點出發(fā),沿著射線方向運動到上的點處,再向左沿著與射線夾角為的方向運動到上的點處;間的距離是________;…按此規(guī)律運動到點處,則點與點間的距離是________.
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