Question

【題目】已知點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，P是⊙O外一點(diǎn)，AP的垂直平分線(xiàn)與⊙O相切于點(diǎn)C，交AP于B點(diǎn)．

⑴ 如圖1，若PA是⊙O的切線(xiàn)，求的值；

⑵ 如圖2，若PA與⊙O相交，OA＝4，OP＝10，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

（1）連接OA、OC，先證明四邊形OABC是正方形，從而得出OA＝AB＝BP，設(shè)OA＝x,則AP＝2x,在Rt△OAP中OP＝，再求其比值;

（2）作OE⊥AP于E，連OC，先證明四邊形OABC是正方形，從而得出OE＝EB＝OA, 設(shè)AB＝BP＝x，則AE＝AB－BE＝x－4，根據(jù)OA2－=OE2＝OP2－PE2列出方程，解方程，從而求出AP的長(zhǎng).

（1）連接OA、OC，如圖所示：

∵若PA是⊙O的切線(xiàn)，AP的垂直平分線(xiàn)與⊙O相切于點(diǎn)C

∴∠OAB＝∠ABC＝∠OCB=90o，AB＝PB，

∴四邊形OABC是矩形，

又∵OA＝OC，

∴四邊形OABC是正方形，

∴OA＝AB，

∴OA＝AB＝BP

設(shè)OA＝x,則AP＝2x,在Rt△OAP中OP＝，

∴；

（2）作OE⊥AP于E，連OC，

∵若PA是⊙O的切線(xiàn)，AP的垂直平分線(xiàn)與⊙O相切于點(diǎn)C

∴∠OEB＝∠EBC＝∠OCB=90o，AB＝PB，

∴四邊形OEBC是矩形，

又∵OE＝OC，

∴四邊形OEBC是正方形，

∴OE＝EB，

∴OE＝EB＝OA，

設(shè)AB＝BP＝x，

則AE＝AB－BE＝x－4，∵OA2－=OE2＝OP2－PE2，

∴42－（x－4）2＝102－（x＋4）2，

∴x＝，

∴AP＝2x＝．