Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為－1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.在下面五個(gè)結(jié)論中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有當(dāng)a＝時(shí)，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值有4個(gè)．其中正確的結(jié)論是________(只填序號(hào))．

Answer 1

【答案】③④

【解析】試題分析：先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3確定出AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸，再由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，∴AB=4，∴對(duì)稱軸x=﹣=1，即2a+b=0．故①錯(cuò)誤；②根據(jù)圖示知，當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0．故②錯(cuò)誤；③∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故③正確；④∵△ADB為等腰直角三角形．所以AD=BD=AB，設(shè)D（1，a+b+c），又b=﹣2a，c=﹣3a，故D（1，﹣4a）；列方程求解得a=1/2或a=﹣1/2（舍去），∴只有a=1/2時(shí)三角形ABD為等腰直角三角形，故④正確；⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，當(dāng)AB=BC=4時(shí)，∵AO=1，△BOC為直角三角形，又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c=﹣，與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)，∵AO=1，△AOC為直角三角形，又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c=﹣與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；同理當(dāng)AC=BC時(shí)在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程無(wú)解．經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件．故⑤錯(cuò)誤．綜上所述，正確的結(jié)論是③④．故答案是：③④．