Question

13．已知，如圖，線段AC，BD交于O，∠AOB為鈍角，AB=CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE=CF，
（1）求證：BO=DO．
（2）若∠AOB為銳角，其他條件不變，請畫出圖象并判斷（1）中的結(jié)論是否仍成立．

Answer 1

分析 （1）由AE=CF得AF=EC，可以根據(jù)HL得到△ABF≌△CDE即可證明．
（2）結(jié)論成立，證明方法類似（1）略．

解答 （1）證明∵AE=CF，
∴AF=EC，
∵BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
在RT△ABF和RT△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
在△BFO和△DEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠DOE}\\{∠BFO=∠DEO}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△DEO，
∴BO=OD．
（2）如圖2結(jié)論不變，理由如下，
證明∵AE=CF，
∴AF=EC
∵BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
在RT△ABF和RT△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
在△BFO和△DEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠DOE}\\{∠BFO=∠DEO}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△DEO，
∴BO=OD．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是兩次利用全等三角形，屬于中考�？碱}型．