Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的圖象與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，連接AC、CB．
（1）求證：△AOC∽△COB；
（2）過點C作CD∥x軸，交二次函數(shù)圖象于點D，若點M在線段AB上以每秒1個單位的速度由點A向點B運動，同時點N在線段CD上也以每秒1個單位的速度由點D向點C運動，連接線段MN，設(shè)運動時間為t秒（0＜t≤6）．
①是否存在時刻t，使MN=AC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②是否存在時刻t，使MN⊥BC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)二次函數(shù)y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的圖象與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，解得A、B、C三點的坐標(biāo)值．再利用A、B、C三點的坐標(biāo)值得到線段OA、OC、OB的長，進而得到

OC

OA

=

OB

OC

=2．再利用相似直角三角形的判定定理，證得△AOC∽△COB．
（2）首先根據(jù)二次函數(shù)y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的圖象與y軸相交于點C點的坐標(biāo)值，求得C點的坐標(biāo)值．進而根據(jù)CD∥x軸，求得D點的坐標(biāo)值．
①觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)MN=AC，那么四邊形ACNM是平行四邊形或四邊形ACNM是等腰梯形，因而就這兩種情況討論．
②根據(jù)A、B、C、D的坐標(biāo)值求得BC²=80，BD²=AC²=20，CD²=100．得到△CBD是直角三角形（即BC⊥BD），進而得到四邊形MNDB是平行四邊形．找出用t表示的線段MN、NB關(guān)系式．求得t值．

解答：（1）證明：A（2，0），B（8，0），C（0，-4）．
∵

OC

OA

=

OB

OC

=2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；

（2）解：D（10，-4），CD=10．BM=6-t，CN=10-t．
①當(dāng)四邊形ACNM是平行四邊形時，AM=CN．此時，t=10-t，得t=5；
當(dāng)四邊形ACNM是等腰梯形時，MB=ND．6-t=t，得t=3；
②∵BC²=80，BD²=AC²=20，CD²=100，
∴BC²+BD²=CD²，
∴BC⊥BD．
∴MN∥BD．
因而此時，四邊形MNDB是平行四邊形，6-t=t，得t=3．

點評：本題著重考查了二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)、梯形的性質(zhì)等知識點，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（2）中弄明白滿足條件MN=AC時四邊形ACNM是平行四邊形、四邊形ACNM是等腰梯形是解題的關(guān)鍵；滿足條件MN⊥BC時，四邊形MNDB是平行四邊形．