Question

【題目】如圖，在矩形中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，、為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的長度最大值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先作出△EFG的外接圓，過點(diǎn)O作OH⊥FG于點(diǎn)H，通過等腰直角三角形的轉(zhuǎn)化可得到當(dāng)的半徑最大時(shí)，FG的長度取得最大值，進(jìn)而可得到當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B、D時(shí)，即點(diǎn)E、G分別與點(diǎn)B、D重合時(shí)，FG的長度取得最大值，設(shè)OH＝HD＝HF＝x，利用Rt△BOE的勾股定理求解即可．

解：如圖，作出△EFG的外接圓，過點(diǎn)O作OH⊥FG于點(diǎn)H，

∵∠FEG＝45°，

∴∠FOG＝2∠FEG＝90°，

又∵OG＝OF，OH⊥FG，

∴FG＝2HG＝2OH，∠OFG＝∠OGF＝45°，

∵在Rt△OHG中，∠OGF＝45°，

∴HG＝OG，

∴當(dāng)的半徑最大時(shí)，FG的長度取得最大值，

如下圖，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B、D時(shí)，即點(diǎn)E、G分別與點(diǎn)B、D重合時(shí)，FG的長度取得最大值，

設(shè)OH＝HD＝HF＝x，則OD＝OB＝x，

在矩形PCDH中，PC＝DH＝x，PH＝CD＝1，

∴BP＝BC－PC＝－x，OP＝PH－OH＝1－x，

在Rt△BOP中，BP2+OP2＝BO2，

∴，

解得，，

∴FD＝2x＝，

故答案為：．