【題目】在平面直角坐標系xOy中,點M( , ),以點M為圓心,OM長為半徑作⊙M.使⊙M與直線OM的另一交點為點B,與x軸,y軸的另一交點分別為點D,A(如圖),連接AM.點P是 上的動點.
(1)寫出∠AMB的度數(shù);
(2)點Q在射線OP上,且OPOQ=20,過點Q作QC垂直于直線OM,垂足為C,直線QC交x軸于點E. ①當動點P與點B重合時,求點E的坐標;
②連接QD,設點Q的縱坐標為t,△QOD的面積為S.求S與t的函數(shù)關系式及S的取值范圍.
【答案】
(1)解:過點M作MH⊥OD于點H,
∵點M( , ),
∴OH=MH= ,
∴∠MOD=45°,
∵∠AOD=90°,
∴∠AOM=45°,
∵OM=AM,
∴∠OAM=∠AOM=45°,
∴∠AMO=90°,
∴∠AMB=90°;
(2)解:①∵OH=MH= ,MH⊥OD,
∴OM= =2,OD=2OH=2 ,
∴OB=4,
∵動點P與點B重合時,OPOQ=20,
∴OQ=5,
∵∠OQE=90°,∠POE=45°,
∴OE=5 ,
∴E點坐標為(5 ,0)
②∵OD=2 ,Q的縱坐標為t,
∴S= .
如圖2,當動點P與B點重合時,過點Q作QF⊥x軸,垂足為F點,
∵OP=4,OPOQ=20,
∴OQ=5,
∵∠OFC=90°,∠QOD=45°,
∴t=QF= ,
此時S= ;
如圖3,當動點P與A點重合時,Q點在y軸上,
∴OP=2 ,
∵OPOQ=20,
∴t=OQ=5 ,
此時S= ;
∴S的取值范圍為5≤S≤10.
【解析】(1)首先過點M作MH⊥OD于點H,由點M( , ),可得∠MOH=45°,OH=MH= ,繼而求得∠AOM=45°,又由OM=AM,可得△AOM是等腰直角三角形,繼而可求得∠AMB的度數(shù);(2)①由OH=MH= ,MH⊥OD,即可求得OD與OM的值,繼而可得OB的長,又由動點P與點B重合時,OPOQ=20,可求得OQ的長,繼而求得答案;②由OD=2 ,Q的縱坐標為t,即可得S= ,然后分別從當動點P與B點重合時,過點Q作QF⊥x軸,垂足為F點,與當動點P與A點重合時,Q點在y軸上,去分析求解即可求得答案.
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【題目】如圖,在矩形AOBC中,點A的坐標是(﹣2,1),點C的縱坐標是4,則B、C兩點的坐標分別是( )
A.( ,3)、(﹣ ,4)
B.( ,3)、(﹣ ,4)??
C.( , )、(﹣ ,4)
D.( , )、(﹣ ,4)
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【題目】如圖,在三角形紙片ABC中,AD平分∠BAC,將△ABC折疊,使點A與點D重合,展開后折痕分別交AB、AC于點E、F,連接DE、DF.求證:四邊形AEDF是菱形.
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【題目】為迎接“六一”兒童節(jié)的到來,某校學生參加獻愛心捐款活動,隨機抽取該校部分學生的捐款數(shù)進行統(tǒng)計分析,相應數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖如下:
(1)該樣本的容量是 , 樣本中捐款15元的學生有人;
(2)若該校一共有500名學生,據(jù)此樣本估計該校學生的捐款總數(shù).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,OA=OB,點P為△ABO的角平分線的交點,若PN⊥PA交x軸于N,延長OP交AB于M,寫出AO,ON,PM之間的數(shù)量關系,并證明之.
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【題目】數(shù)學活動:探究利用角的對稱性構造全等三角形解決問題
(1)如圖①,OP是∠MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形;(寫出簡單做法,不用證明兩三角形全等,不用尺規(guī)作圖亦可)
(2)如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F.請直接填空:∠AFE= 度,DF EF(填>,<或=);
(3)如圖③,在△ABC中,如果∠ACB≠90°,而(2)中的其他條件不變,請問,你在(2)中所得結論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】A,B兩地相距20km.甲、乙兩人都由A地去B地,甲騎自行車,平均速度為10km/h;乙乘汽車,平均速度為40km/h,且比甲晚1.5h出發(fā).設甲的騎行時間為x(h)(0≤x≤2)
(1)根據(jù)題意,填寫下表:
時間x(h) 與A地的距離 | 0.5 | 1.8 | _____ |
甲與A地的距離(km) | 5 |
| 20 |
乙與A地的距離(km) | 0 | 12 |
|
(2)設甲,乙兩人與A地的距離為y1(km)和y2(km),寫出y1,y2關于x的函數(shù)解析式;
(3)設甲,乙兩人之間的距離為y,當y=12時,求x的值.
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【題目】已知關于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)若△ABC中,AB=AC=2,AB,BC的長是方程kx2﹣4x+2=0的兩根,求BC的長.
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