【題目】小明同學(xué)在做作業(yè)時,遇到如下問題:如圖1,已知:等邊△ABC,點(diǎn)D在BC上,以AD為邊作等邊△ADE,連接CE,求證:∠ACE=60°.
(1)請你解答小明的這道題;
(2)在這個問題中,當(dāng)D在BC上運(yùn)動時,點(diǎn)E是否在一條線段上運(yùn)動?
(直接答“是”或“不是”)
(3)如圖2,正方形ABCD的邊長為2,E是直線BC上的一個動點(diǎn),以DE為邊作正方形DEFG(DEFG按逆時針排列)。當(dāng)E在直線BC上運(yùn)動時,點(diǎn)G是否在一條直線上運(yùn)動?如果是,請你畫出這條直線并證明;如果不是,也請說明理由;
(4)連接AG、CG,①求證:AG2-CE2是定值; ②求AG+CG的最小值(直接寫出答案即可)。
【答案】
(1)
解:證明:∵△ABC和△ADE是等邊三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∠B=60°,
∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD△ACE,
∴∠ACE=∠B=60°.
(2)
解:是;∵∠ACE=60°,∠ACB=60°,∴∠BCE=120°,
∴E在以CB為一條邊的120°角的另一邊上,
當(dāng)點(diǎn)D與B重合,E與C重合;
當(dāng)點(diǎn)D與C重合時,CE的長最長=AC;
故點(diǎn)E在一條線段上運(yùn)動。
(3)
解:是。證明:過G作GH⊥CD于H,∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形,
∴∠DCE=90°,∠EDG=90°,DE=DG,
∴∠EDC+∠GDC=90°,∠EDC+∠CED=90°,
∴∠GDC=∠CED,又∵DE=DG,∠DCE=∠GHD=90度,
∴△CDE△HGD,∴GH=CD=2.
又∵GH⊥CD,∴點(diǎn)G是在與CD的距離為2的直線上,過G作直線//CD,即點(diǎn)G在直線l上運(yùn)動。
(4)
解:①延長AD交直線l于P,由(1)可得△CDE△HGD,
∴CE=DH。
∵l//CD,GH⊥CD,∴∠DHG=∠PGH=90°,
又∵∠PDH=90°,∴四邊形DHGP是矩形,
∴PG=DH=CE,PD=GH=2,
在Rt△AGP中,AG2-PG2=AP2=42=16,
∴AG2-CE2=AG2-PG2=16是定值。
②過A作關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′,連接A′C,交直線l于G′,則AG+CG≥A′G′+CG′=A′C,
在Rt△A′CD中,CD=2,A′D=6,∴A′C = 。
【解析】(1)由△ABC和△ADE是等邊三角形,可得AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∠B=60°,則∠BAD=∠CAE,由“SAD”證得△ABD△ACE,即可證得∠ACE=∠B=60°;(2)在D的運(yùn)動過程中∠BCE=∠ACE=+∠ACB=120°不變,CE邊所在射線不變,且CE的最長=AC;(3)與前面同理,構(gòu)造全等三角形,過G作GH⊥CD于H,證明△CDE△HGD,即GH=CD=2且GH⊥CD,則G在一條直線與CD平行,且距離為2;(4)①在(1)的結(jié)論下,延長AP交直線l于點(diǎn)P,則可得PG=DH=CE,則AG2-CE2=AG2-PG2是定值;②作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A’,連接A’C即為最短路徑,再由勾股定理解出長度。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°,以及對勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】手工興趣小組的同學(xué)們將自己制作的書簽向本組的其他成員各贈送1個,全組共互贈了30個,如果全組有x名同學(xué),則根據(jù)題意列出的方程是( 。
A.x(x+1)=30B.2x(x+1)=30C.x(x﹣1)=30D.x(x﹣1)=30×2
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A(-1,2),B(3,2),C(1,-2).
(1)求證:AB∥x軸;
(2)求△ABC的面積;
(3)若在y軸上有一點(diǎn)P,使S△ABP=S△ABC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊平行四邊形紙片ABCD,現(xiàn)將其折疊,使得AB落在AD上點(diǎn)F處,折痕為AE,再將△AEF沿EF翻折,若點(diǎn)A剛好落在CD邊上點(diǎn)G處,則 =。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙O的半徑為3,若OP=4,則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是( 。
A.點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B.點(diǎn)P在⊙O外C.點(diǎn)P在⊙O上D.無法判斷
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】整式的加減運(yùn)算:
(1)化簡:-(x2+y2)+[-3xy-(x2-y2)];
(2)先化簡,再求值:2(x2y+xy)-(x2y-xy)-4xy-x2y)其中x=1,y=-2
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2的圖像向右平移2個單位,得到新的函數(shù)圖像的表達(dá)式是( )
A.y=x2﹣2
B.y=(x﹣2)2
C.y=x2+2
D.y=(x+2)2
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD和CE交于O,AO的延長線交BC于F,則圖中全等的直角三角形有( )
A.3對
B.4對
C.5對
D.6對
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com