【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等邊三角形,E是AB的中點,連接CE并延長交AD于F.

(1)求證:△AEF≌△BEC;

(2)判斷四邊形BCFD是何特殊四邊形,并說出理由;

(3)如圖2,將四邊形ACBD折疊,使D與C重合,HK為折痕,若BC=1,求AH的長.

【答案】(1)(2)見解析;(3)

【解析】試題分析:1)在△ABC中,由已知可得∠ABC=60°,從而推得∠BAD=ABC=60°.由EAB的中點,得到AE=BE.又因為∠AEF=BEC,所以△AEF≌△BEC;(2RtABC中,EAB的中點,則CE=AB,BE=AB,得到∠BCE=EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=D=60度.所以FCBD,又因為∠BAD=ABC=60°,所以ADBC,即FDBC,則四邊形BCFD是平行四邊形.

(2)∠BAD=60°,∠CAB=30°,可得∠CAH=90°Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=1,根據(jù)30°角的直角三角形的性質可得AB=2BC=2,所以AD=AB=2.設AH=x,則HC=HD=AD﹣AH=2﹣x,在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC2=3,在Rt△ACH中,根據(jù)勾股定理列出方程x2+3=2﹣x2,解方程即可求得AH的值

試題解析:

1)證明:①在△ABC中,∠ACB=90°∠CAB=30°,∴∠ABC=60°

在等邊△ABD中,∠BAD=60°∴∠BAD=∠ABC=60°

∵EAB的中點,∴AE=BE.又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC

2)在△ABC中,∠ACB=90°,EAB的中點,

CE=AB,BE=ABCE=AE,∴∠EAC=ECA=30°,∴∠BCE=EBC=60°

又∵△AEF≌△BEC∴∠AFE=∠BCE=60°

又∵∠D=60°,∴∠AFE=∠D=60°∴FC∥BD

又∵∠BAD=∠ABC=60°,∴AD∥BC,即FD∥BC.∴四邊形BCFD是平行四邊形

3∵∠BAD=60°,∠CAB=30°,∴∠CAH=90°

Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=1∴AB=2BC=2∴AD=AB=2

AH=x,則HC=HD=AD﹣AH=2﹣x,在Rt△ABC中,AC2=22﹣12=3,

RtACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3=2x2,解得x=,即AH=

練習冊系列答案
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