【題目】如圖所示,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn),連接AC,BC,AD,BD,且ADBC相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)ACE,使ACEC,連接EBAD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

1)求證:EB是⊙O的切線;

2)求證;AF2BD

3)求證:線段BG是線段CF和線段EG的比例中項(xiàng).

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析

【解析】

1)由“SAS”可證ABC≌△EBC,可得∠ABC=EBC=45°,可得∠EBA=90°,即可得結(jié)論;

2)延長(zhǎng)BDAE于點(diǎn)M,由“ASA”可證ADB≌△ADMACF≌△BCM,可得BD=DM,AF=BM=2BD

3)過點(diǎn)FFNAB,過點(diǎn)GGKAE,由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得BFCF,EGKGBGBF,即可得結(jié)論.

證明:(1∵AB⊙O 的直徑,

∴∠ACB90°

點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),

∴∠ABC45°

∵ACEC,∠ACB∠ECB90°,BCBC

∴△ABC≌△EBCSAS

∴∠ABC∠EBC45°

∴∠EBA90°,且AB⊙O 的直徑

∴EB⊙O的切線.

2)如圖,延長(zhǎng)BDAE于點(diǎn)M

∵AB⊙O 的直徑

∴∠ACB90°,∠ADB90°

點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)

∴∠MAD∠BAD∠BAC22.5°,且∠ADB∠ADM90°,ADAD

∴△ADB≌△ADMASA

∴BDDM

∴BM2BD

點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)

∴ACBC,∠ACF∠BCM90°∠CBD∠CAD

∴△ACF≌△BCMAAS

∴AFBM

∴AF2BD

3)如圖,過點(diǎn)FFN⊥AB,過點(diǎn)GGK⊥AE,垂足分別為N,K,

由(2)可知∠CAD∠BAD22.5°,∠ABC∠E45°,

∴∠BFD∠BAF+∠ABF22.5°+45°67.5°,∠BGF∠CAD+∠E22.5°+45°67.5°,

∴∠BFD∠BGF,

∴BFBG,

∵∠CAF∠NAF,FC⊥AEFN⊥AB,

∴NFCF

∵∠ABC45°,∠FNB90°,

∴NFBNCF,

,

同理

,

,

∴BF是線段CF和線段EG的比例中項(xiàng).

即線段BG是線段CF和線段EG的比例中項(xiàng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,點(diǎn)Ax軸正半軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),且BC不在同一象限內(nèi),若反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)D,則四邊形ODBC的面積為____

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1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)若PQOD,求此時(shí)t的值?

3)是否存在時(shí)刻某個(gè)t,使SDOP=SPCQ?若存在,請(qǐng)求出t的值,若不存在,請(qǐng)說明理由;

4)當(dāng)t為何值時(shí),DPQ是以DQ為腰的等腰三角形?

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【題目】開學(xué)初期,天氣炎熱,水杯需求量大.雙福育才中學(xué)門口某超市購進(jìn)一批水杯,其中A種水杯進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元,售價(jià)為每個(gè)25元;B種水杯進(jìn)價(jià)為每個(gè)12元,售價(jià)為每個(gè)20

1)該超市平均每天可售出60個(gè)A種水杯,后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),A種水杯單價(jià)每降低1元,則平均每天的銷量可增加10個(gè).為了盡量讓學(xué)生得到更多的優(yōu)惠,某天該超市將A種水杯售價(jià)調(diào)整為每個(gè)m元,結(jié)果當(dāng)天銷售A種水杯獲利630元,求m的值.

2)該超市準(zhǔn)備花費(fèi)不超過1600元的資金,購進(jìn)A、B兩種水杯共120個(gè),其中B種水杯的數(shù)量不多于A種水杯數(shù)量的兩倍.請(qǐng)為該超市設(shè)計(jì)獲利最大的進(jìn)貨方案,并求出最大利潤(rùn).

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【題目】已知:點(diǎn)E是正方形ABCD中邊AB的中點(diǎn).

1)如圖1,點(diǎn)T為線段DE上一點(diǎn),連接BT并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M,連接AT并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)N,且AMDN.試判斷線段AN與線段BM的關(guān)系,并證明;求證:點(diǎn)M是線段AD的黃金分割點(diǎn).

2)如圖2,在AD邊上取一點(diǎn)M,滿足AM2DMDA時(shí),連接BMDE于點(diǎn)T,連接AT并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)N,求tanMTD的值.

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【題目】如圖,的弦,為半徑的中點(diǎn),過交弦于點(diǎn),交于點(diǎn),且

1)求證:的切線;

2)連接、,求的度數(shù):

3)如果,,求的半徑.

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1)求證:ABC ∽△ADE;

2)求證:BAD ∽△CAE;

3)已知BC=4AC=3,AE=.將AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí),求 BD的長(zhǎng).

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1)求證:的切線;

2)若,,求的長(zhǎng).

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