Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．

(1)求證：DF⊥AC；

(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，請直接寫出弧AE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)．

【解析】

(1)連接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代換得∠ODB=∠ACB，利用平行線的判定得OD∥AC，由切線的性質得DF⊥OD，得出結論；

(2)連接OE，利用(1)的結論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用弧長公式即可得出結論．

(1)證明：如圖，連接OD，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F，

∴DF⊥OD，

∴DF⊥AC．

(2)解：如圖，連接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴∠BAC=45°，

∵OA=OE，

∴∠AOE=90°，

∵⊙O的半徑為4，

∴弧AE的長為．