Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且∠CAB=30°，若直線l：y=x+m從點(diǎn)C開始沿y軸向下平移．

（1）當(dāng)直線l上點(diǎn)D滿足DA=DC且∠ADC=90°時(shí)，m的值為 _________ ；

（2）以動(dòng)直線l為對(duì)稱軸，線段AC關(guān)于直線l的對(duì)稱線段A′C′與拋物線有交點(diǎn)，寫出m的取值范圍 _________．

Answer 1

【答案】（1）2﹣3；（2）﹣＜m＜．

【解析】

試題分析：如圖1所示：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F．

∵∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠CDE=90°．

∵∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠DAF=∠CDE．

∵在Rt△AFD和Rt△DEC中，

∴Rt△AFD≌Rt△DEC．

∴AF=DE，DF=CE．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x， x+m），則x=x+m=①，x+3=﹣x﹣m②．

①+②得：2x+3=，

解得：x=．

∴=×+m．

解得：m=2﹣3．

（2）∵OA=3，∠CAB=30°，

∴OC=．

∴C（0，）．

①當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)．

∵將C（0，）代入y=x+m得：

∴m=．

②如圖2所示：

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）．

∵將C（0，）代入得：﹣3a=，解得：a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于l對(duì)稱，

∴AA′⊥l．

∴直線AA′的一次項(xiàng)系數(shù)為﹣．

設(shè)直線AA′的解析式為y=﹣x+b．

∵將A（﹣3，0）代入得：+b=0，解得：b=﹣

∴直線AA′的解析式為y=﹣x﹣．

將y=﹣x﹣代入y=﹣x2﹣x+得：﹣ x﹣=﹣x2﹣x+．

整理得：x2+x﹣6=0．

解得：x1=2，x2=﹣3．

∵將x=2代入y=﹣x﹣得：y=﹣，

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，﹣）．

∴D（﹣，﹣）．

將D（﹣，﹣）代入y=+m得：﹣ +m=﹣，解得：m=﹣．

∴m的取值范圍是﹣＜m＜．

故答案為：（1）2﹣3；（2）﹣＜m＜．