【題目】(1)問(wèn)題背景:
如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是 ;
(2)探索延伸:
如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;
(3)結(jié)論應(yīng)用:
如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn),1.5小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處,且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.
(4)能力提高:
如圖4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,試求出MN的長(zhǎng).
【答案】(1)EF=BE+FD;(2)EF=BE+FD仍然成立;(3)210;(4)MN=.
【解析】試題分析:(1)由△AEF≌△AGF,得EF=GF,又由BE=DG,得EF=GF=DF+DG=DF+BE;(2)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,證明△ABE≌△ADG,再證△AEF≌△AGF,得EF=FG,即可得到答案;(3)連接EF,延長(zhǎng)AE,BF相交于點(diǎn)C,根據(jù)探索延伸可得EF=AE+FB,即可計(jì)算出EF的長(zhǎng)度;(4)在△ABC外側(cè)作∠CAD=∠BAM,截取AD=AM,連接CD,DN,證明△ACD≌△ABM,得到CD=BM,再證MN=ND,則求出ND的長(zhǎng)度,即可得到答案.
解:(1)由△AEF≌△AGF,得EF=GF,又由BE=DG,得EF=GF=DF+DG=DF+BE;
(2)EF=BE+FD仍然成立.
證明:如答圖1,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADG,
在△ABE與△ADG中,AB=AD,∠B=∠ADG,BE=DG,∴△ABE≌△ADG.
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
又∵∠EAF=∠BAD,
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠BAD-∠BAD=∠BAD,
∴∠EAF=∠GAF.
在△AEF與△AGF中,AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF.∴EF=FG.
又∵FG=DG+DF=BE+DF.
∴EF=BE+FD.
(3)如答圖2,連接EF,延長(zhǎng)AE,BF相交于點(diǎn)C,在四邊形AOBC中,
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°,∠FOE=70°=∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°,符合探索延伸中的條件,
∴結(jié)論EF=AE+FB成立.
∴EF=AE+FB=1.5×(60+80)=210(海里).
答:此時(shí)兩艦艇之間的距離為210海里;
(4)如答圖3,在△ABC外側(cè)作∠CAD=∠BAM,截取AD=AM,連接CD,DN,
在△ACD與△ABM中,AC=AB,∠CAD=∠BAM,AD=AM,
則△ACD≌△ABM,∴CD=BM=1,∠ACD=∠ABM=45°,
∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°,
∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD,
又∵AM=AD,∠NCD+∠MAD=(∠ACD+∠ACB)+90°=180°,
∴對(duì)于四邊形AMCD符合探索延伸,
則ND=MN,
∵∠NCD=90°,CD=1,CN=3,
∴MN=ND=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),與y軸交于點(diǎn)B,且與正比例函數(shù)y=kx的圖象交點(diǎn)為C(3,4).
(1)求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)D在第二象限,△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)E使△BCE周長(zhǎng)最小,若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo)
(4)在x軸上求一點(diǎn)P使△POC為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(﹣1,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在( 。
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】八年級(jí)(1)班學(xué)生在完成課題學(xué)習(xí)“體質(zhì)健康測(cè)試中的數(shù)據(jù)分析”后,利用課外活動(dòng)時(shí)間積極參加體育鍛煉,每位同學(xué)從籃球、跳繩、立定跳遠(yuǎn)、長(zhǎng)跑、鉛球中選一項(xiàng)進(jìn)行訓(xùn)練,訓(xùn)練后都進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)將項(xiàng)目選擇情況及訓(xùn)練后籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃測(cè)試成績(jī)整理后作出如下統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)上面提供的信息回答下列問(wèn)題:
(1)扇形圖中跳繩部分的扇形圓心角為 度,該班共有學(xué)生 人,訓(xùn)練后籃球定時(shí)定點(diǎn)投籃平均每個(gè)人的進(jìn)球數(shù)是 .
(2)老師決定從選擇鉛球訓(xùn)練的3名男生和1名女生中任選兩名學(xué)生先進(jìn)行測(cè)試,請(qǐng)用列表或畫樹形圖的方法求恰好選中兩名男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),DE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F,點(diǎn)D由A向B移動(dòng)時(shí),矩形DECF的周長(zhǎng)變化情況是( )
A. 逐漸減小 B. 逐漸增大 C. 先增大后減小 D. 先減小后增大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,△ABC的高CD與角平分線AE相交點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于G,交AB于H.
(1)求∠BCH的度數(shù);
(2)求證:CE=BH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,連接BD,CE,BD和CE相交于點(diǎn)F,若△ABC不動(dòng),將△ADE繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度.
(1)求證:△BAD≌△CAE.
(2)如圖①,若∠BAC=∠DAE=90°,判斷線段BD與CE的關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)如圖②,若∠BAC=∠DAE=60°,求∠BFC的度數(shù);
(4)如圖③,若∠BAC=∠DAE= ,直接寫出∠BFC的度數(shù)(不需說(shuō)明理由)
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