Question

1．如圖，在直線y=-x+4與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一點(diǎn)，連接PA、PB、PO，△POA面積是△POB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在直線y=-x+4上，是否存在M、N，使以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形△OAB相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的解析式求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）分三種情況討論即可求得；
（3）分三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求得即可．

解答 解：（1）∵直線y=-x+4與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，
∴A（4，0），B（0，4），
把A（4，0），B（0，4）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線為y=-x²+3x+4；
（2）∵A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
設(shè)P（x，-x²+3x+4），
∵△POA面積是△POB面積的2倍，
∴2|x|=|-x²+3x+4|，
當(dāng)P點(diǎn)在第一，三象限時(shí)，則2x=-x²+3x+4，解得x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴P（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，1+$\sqrt{17}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，1-$\sqrt{17}$）；
當(dāng)P點(diǎn)在第二、四象限時(shí)，則-2x=-x²+3x+4，解得x=$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，
∴P（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-5）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，-5-$\sqrt{41}$）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，1+$\sqrt{17}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，1-$\sqrt{17}$）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-5）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，-5-$\sqrt{41}$）；
（3）∵OA=OB=4，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
①當(dāng)∠BMN=90°時(shí)，則BM=MN，如圖①，
∴∠NBM=45°，
∴∠OBM=90°，
∴BM∥x軸，
∴M的縱坐標(biāo)為4，
代入y=-x²+3x+4解得x=0或3，
∴M（3，4），
把x=3代入y=-x+4得y=1，
∴N（3，1）；
②當(dāng)∠MBN=90°時(shí)，則直線BM的解析式為y=x+4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴M（2，6），
把x=2代入y=-x+4得y=2，
∴N（2，2）；
③當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，如圖③，
∴∠NBM=45°，
∴∠OBM=90°，
∴BM∥x軸，
∴M的縱坐標(biāo)為4，
代入y=-x²+3x+4解得x=0或3，
∴M（3，4），
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴N的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
代入y=-x+4得，y=$\frac{5}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
綜上，N的坐標(biāo)為（3，1）或（2，2）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，三角形相似的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．