Question

10．已知a-b=2，a²-ab-c²+2c=0，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$（a≠0）圖象上，且滿足x₂-x₁=8，$\frac{1}{{y}_{2}}$-$\frac{1}{{y}_{1}}$＞2，求整數(shù)c的值．

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到x₁=$\frac{a}{{y}_{1}}$，x₂=$\frac{a}{{y}_{2}}$，則$\frac{a}{{y}_{1}}$-$\frac{a}{{y}_{2}}$=8，而$\frac{1}{{y}_{2}}$-$\frac{1}{{y}_{1}}$＞2，所以0＜a＜4，再把a(bǔ)-b=2代入a²-ab-c²+2c=0得到2a-c²+2c=0，則a=$\frac{{c}^{2}-2c}{2}$，所以0＜$\frac{c（c-2）}{2}$＜4，然后利用c的取值范圍確定滿足條件的整數(shù)．

解答 解：∵點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$（a≠0）圖象上，
∴y₁=$\frac{a}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{a}{{x}_{2}}$，
∴x₁=$\frac{a}{{y}_{1}}$，x₂=$\frac{a}{{y}_{2}}$，
∵x₂-x₁=8，
∴$\frac{a}{{y}_{1}}$-$\frac{a}{{y}_{2}}$=8，
而$\frac{1}{{y}_{2}}$-$\frac{1}{{y}_{1}}$＞2，
∴$\frac{8}{a}$＞2，
∴0＜a＜4，
∵a-b=2，a²-ab-c²+2c=0，
∴2a-c²+2c=0，則a=$\frac{{c}^{2}-2c}{2}$，
∴0＜$\frac{c（c-2）}{2}$＜4，即0＜c（c-2）＜8，
當(dāng)c＜0時(shí)，c=-1；
當(dāng)c＞2時(shí)，c=3，
∴整數(shù)c的值的值為-1或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．解決本題的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力和解不等式組．