Question

求所有正整數(shù)x，y，使得x²+3y與y²+3x都是完全平方數(shù)．

Answer 1

解：令x²+3y=m²（1），
y²+3x=n²，
由于其對(duì)稱性，可暫設(shè)x≥y，不失一般性．
由（1）式可知m＞x，
又因?yàn)閙²=x²+3y＜x²+4x+4=（x+2）²，
所以，只有m=x+1，代入（1）得
3y=2x+1，x=  
將其代入（2）式得，y²+y﹣=n²
同理可以得y＜n＜y+3，
故只有n=y+1或n=y+2
分別代入（4）式得，
y=1或，y=11，
由（3）式可得，x=1或x=16，
又因?yàn)閤，y可互換，
故方程有三組解，即（1，1）；（16，11）；（11，16）