Question

求所有正整數(shù)x，y，使得x²+3y與y²+3x都是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析：令x²+3y=m²，y²+3x=n²，由于其對稱性，可暫設(shè)x≥y，不失一般性，首先題干條件求出x和y的關(guān)系式，然后把x與y的關(guān)系式代入y²+3x=n²中結(jié)合各等式間的關(guān)系，求出x和y的值．

解答：解：令x²+3y=m²（1），
y²+3x=n²（2），
由于其對稱性，可暫設(shè)x≥y，不失一般性．
由（1）式可知m＞x，
又因為m²=x²+3y＜x²+4x+4=（x+2）²，
所以，只有m=x+1，代入（1）得
3y=2x+1，
x=

(3y-1)

2

  （3）
將其代入（2）式得，
y²+

9

2

y-

3

2

=n²（4）
同理可以得
y＜n＜y+3，
故只有n=y+1或n=y+2
分別代入（4）式得，
y=1或，y=11，
由（3）式可得，x=1或x=16，
又因為x，y可互換，
故方程有三組解，即（1，1）；（16，11）；（11，16）

點評：本題主要考查完全平方數(shù)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是令x²+3y=m²，y²+3x=n²，此題難度不大．