Question

【題目】如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，過A作AE⊥AD交BC的延長線于點E，M為DE的中點．

（1）求證：ME2＝MCMB；

（2）如果BA2＝BDBE，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）證明△AMC∽△BMA即可解決問題．

（2）由△AMC∽△BMA，推出＝，推出＝，推出＝，再證明△BAC∽△BMA，推出＝，推出AB2＝BCBM，即可解決問題．

（1）證明：∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝90°，

∵DM＝ME，

∴AM＝MD＝ME，

∴∠MAD＝∠MDA，

∴∠MAC+∠DAC＝∠B+∠BAD，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴∠MAC＝∠B，

∵∠AMC＝∠AMB，

∴△AMC∽△BMA，

∴＝，

∴AM2＝MCMB，

∵ME＝MA，

∴ME2＝MCMB．

（2）證明：∵△MAC∽△BMA，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∵AB2＝BDBE，

∴＝，

∵∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BEA，

∴∠BAD＝∠E，

∵∠AMB＝∠E+∠MAE＝2∠E，∠BAC＝2∠BAD，

∴∠BAC＝∠AMB，∵∠B＝∠B，

∴△BAC∽△BMA，

∴＝，

∴AB2＝BCBM，

∴＝＝．