Question

8．如圖1，有一張矩形紙片ABCD，已知AB=10，AD=12，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：現(xiàn)將紙片沿折痕BF進(jìn)行折疊，使點A落在BC邊上的點E處，點F在AD上（如圖2）；然后將紙片沿折痕DH進(jìn)行第二次折疊，使點C落在第一次的折痕BF上的點G處，點H在BC上（如圖3），給出四個結(jié)論：
①AF的長為10；②△BGH的周長為18；③$\frac{BG}{GF}$=$\frac{2}{3}$；④GH的長為5，
其中正確的結(jié)論有①③④．（寫出所有正確結(jié)論的番號）

Answer 1

分析 過G點作MN∥AB，交AD、BC于點M、N，可知四邊形ABEF為正方形，可求得AF的長，可判斷①，且△BNG和△FMG為等腰三角形，設(shè)BN=x，則可表示出GN、MG、MD，利用折疊的性質(zhì)可得到CD=DG，在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，則可求得BH，容易判斷②③④，可得出答案．

解答 解：如圖，過點G作MN∥AB，分別交AD、BC于點M、N，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=12，
由折疊可得AB=BE，且∠A=∠ABE=∠BEF=90°，
∴四邊形ABEF為正方形，
∴AF=AB=10，
故①正確；
∵M(jìn)N∥AB，
∴△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且MN=AB=10，
設(shè)BN=x，則GN=AM=x，MG=MN-GN=10-x，MD=AD-AM=12-x，
又由折疊的可知DG=DC=10，
在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD²+MG²=GD²，
即（12-x）²+（10-x）²=10²，解得x=4，
∴GN=BN=4，MG=6，MD=8，
又∠DGH=∠C=∠GMD=90°，
∴∠NGH+∠MGD=∠MGD+∠MDG=90°，
∴∠NGH=∠MDG，且∠DMG=∠GNH，
∴△MGD∽△NHG，
∴$\frac{MD}{GN}$=$\frac{MG}{NH}$=$\frac{DG}{GH}$，即$\frac{8}{4}$=$\frac{6}{NH}$=$\frac{10}{GH}$，
∴NH=3，GH=CH=5，
∴BH=BC-HC=12-5=7，
故④正確；
又△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且BN=4，MG=6，
∴BG=4$\sqrt{2}$，GF=6$\sqrt{2}$，
∴△BGF的周長=BG+GH+BH=4$\sqrt{2}$+5+7=12+4$\sqrt{2}$，$\frac{BG}{GF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$，
故②不正確；③正確；
綜上可知正確的為①③④，
故答案為：①③④．

點評 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識點有矩形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及方程思想等．過G點作AB的平行線，構(gòu)造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt△GMD中得到方程，求得BN的長度是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性質(zhì)較強，難度較大．