Question

如圖，已知?ABCD，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AE垂直平分BC且四邊形AECF為菱形時(shí)，直接寫出AE：AB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接對(duì)角線AC交對(duì)角線BD于點(diǎn)O，運(yùn)用OA=OC，OE=OF，即可判定四邊形AECF是平行四邊形；
（2）由AE是BC的中垂線，BD是AC的中垂線，得了出△ABC是等邊三解形，即可解答．

解答：（1）證明：連接對(duì)角線AC交對(duì)角線BD于點(diǎn)O．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）∵AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四邊形AECF為菱形，
∴BO垂直平分AC，
∴AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠EAO=30°，
在RT△AOE中，
AE=

2 3

3

AO=

3

3

AC，
∴AE：AC=

3

3

，
∵AE=AB，
∴AE：AC=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及判定和菱形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用知識(shí)找出線段之間的關(guān)系．