Question

已知矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖，點A的坐標為（6，0），點C的坐標為（0，-3），直線y=-

3

4

x與邊BC相交于點D．
（1）求點D的坐標．
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、D、O，求此拋物線的表達式．
（3）在這個拋物線上是否存在點M，使以O、D、A、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,矩形的性質(zhì),梯形

專題：綜合題

分析：（1）由四邊形OABC是矩形及點C的坐標可得點D的縱坐標，就可求出點D的坐標．
（2）用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．
（3）分別以OA、OD、AD為梯形的底邊進行討論，求出過點M的底邊所在直線的解析式，然后求出該直線與拋物線的交點就是所求點M的坐標．

解答：解：（1）如圖1，

∵四邊形OABC是矩形，點C的坐標為（0，-3），
∴y_D=y_C=-3．
∴-

3

4

x_D=-3．
解得：x_D=4．
∴點D的坐標為（4，-3）．

（2）∵點O（0，0）、點A（6，0）、點D（4，-3）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴

c=0 36a+6b+c=0 16a+4b+c=-3

．
解得：

a= 3 8 b=- 9 4 c=0

．
∴該拋物線的解析式為y=

3

8

x²-

9

4

x．

（3）①若OA為梯形的底邊，如圖2，

則有DM∥OA．
∴y_M=y_D=-3．
∴

3

8

x_M²-

9

4

x_M=-3．
解得：x₁=2，x₂=4．
∴點M的坐標為（2，-3）．
②若OD為梯形的底邊，如圖3，

則有AM∥OD．
設AM的解析式為y=-

3

4

x+b，
則有-

3

4

×6+b=0．
解得：b=

9

2

．
∴AM的解析式為y=-

3

4

x+

9

2

．
聯(lián)立

y=- 3 4 x+ 9 2 y= 3 8 x2- 9 4 x

解得：

x=6 y=0

或

x=-2 y=6

∴點M的坐標為（-2，6）．
③若AD為梯形的底邊，如圖4，

則有OM∥AD．
同理可得：點M的坐標為（10，15）．
綜上所述：符合條件的點M的坐標為（2，-3）或（-2，6）或（10，15）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、梯形的性質(zhì)、拋物線與直線的交點、矩形的性質(zhì)等知識，考查了分類討論的思想，由一定的綜合性．