Question

如圖，四邊形OABC為矩形，OA=4，OC=5，正比例函數(shù)y=2x的圖象交AB于點D，連接DC，動點Q從D點出發(fā)沿DC向終點C運動，動點P從C點出發(fā)沿CO向終點O運動．兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，設從出發(fā)起運動了ts．
（1）求△PCQ的面積S_△PCQ=？（用t的代數(shù)式表示）；
（2）問：是否存在時刻t使S_△DOP=S_△PCQ？為什么？
（3）當t為何值時，△DPQ是一個以DP為腰的等腰三角形？

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）分別過點Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC與點E、F，對于直線y=2x，令y=4求出x的值，確定出D坐標，進而求出BD，BC的長，利用勾股定理求出CD的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形CQE與三角形CDF相似，由相似得比例表示出QE，由底PC，高QE表示出三角形PQC面積即可；
（2）不存在，理由為：表示出三角形ODP面積，令S_△DOP=S_△PCQ，求出t=5，此時Q與C重合，不能構成三角形；
（3）由三角形CQE與三角形CDF相似，利用相似得比例表示出CE，PE，進而利用勾股定理表示出PQ²，DP²，以及DQ，分兩種情況考慮：①當DP=PQ；②當DP=DQ，求出t的值即可．

解答：解：（1）分別過點Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC與點E、F，
對于直線y=2x，令y=4，得到x=2，即D（2，4），
∴BD=OC-AD=5-2=3，
∵BC=OA=4，
∴在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：CD=

BD2+BC2

=5，
∵∠DCF=∠QCE，∠DFC=∠QEC=90°，
∴△CQE∽△CDF，
∴

CQ

CD

=

QE

DF

，即

5-t

5

=

QE

4

，
∴QE=

4(5-t)

5

，
則S_△CPQ=

1

2

×t×

4

5

（5-t）=

2

5

t（5-t）=-

2

5

t²+2t；

（2）不存在，理由為：
根據(jù)題意得：S_△ODP=

1

2

×4×（5-t）=2（5-t），
令2（5-t）=-

2

5

t²+2t，
解得：t₁=t₂=5，
則此時Q與C重合，不能構成三角形；

（3）∵△CQE∽△CDF，
∴CE=

3

5

（5-t），PE=t-

3

5

（5-t）=

8

5

t-3，
∴根據(jù)勾股定理得：PQ²=

16(5-t)2

25

+（

8

5

t-3）²=

16

5

t²-16t+25，DP²=4²+（3-t）²，DQ=t，
分兩種情況考慮：
①當DP=PQ時，4²+（3-t）²=

16

5

t²-16t+25，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

50

11

；
②當DP=DQ時，4²+（3-t）²=t²，
解得：t=

25

6

，
答：當t=

25

6

或t=

50

11

時，△DPQ是一個以DP為腰的等腰三角形．

點評：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質以及勾股定理是解本題的關鍵．