Question

20．如圖，在正方形OABC中，點B的坐標是（4，4），點E、F分別在邊BC、BA上，OE=2$\sqrt{5}$．若∠EOF=45°，則F點的縱坐標是（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 如圖連接EF，延長BA使得AM=CE，則△OCE≌△OAM．先證明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，設AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖連接EF，延長BA使得AM=CE，則△OCE≌△OAM．

∴OE=OM，∠COE=∠MOA，
∵∠EOF=45°，
∴∠COE+∠AOF=45°，
∴∠MOA+∠AOF=45°，
∴∠EOF=∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OM}\\{∠FOE=∠FOM}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△OFE≌△FOM，
∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，設AF=x，
∵CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
∴EF=2+x，EB=2，F(xiàn)B=4-x，
∴（2+x）²=2²+（4-x）²，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴點F的縱坐標為$\frac{4}{3}$，
故選A．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．