Question

4．探究：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E，若AE=10，求四邊形ABCD的面積．
拓展：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．AE⊥BC于點E，若AE=19，BC=10，CD=6，則四邊形ABCD的面積為152．

Answer 1

分析 （1）過A作AF⊥BC，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠FAE=90°，求出∠DAE=∠BAF=90°-∠BAE，根據(jù)AAS得出△AFB≌△AED，根據(jù)全等得出AE=AF=10，S_△AFB=S_△AED，求出S_{正方形AFCE}=100，求出S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AFCE}，代入求出即可；
（2）過A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，求出∠BAE=∠FAD，根據(jù)AAS推出△AEB≌△AFD，根據(jù)全等得出AE=AF=19，BE=DF，設(shè)BE=DF=x，由勾股定理得出AC²=AE²+CE²=AF²+CF²，推出10-x=6+x，求出x，求出S_{正方形AFCE}=152和S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AFCE}，代入求出即可．

解答 解：（1）如圖1，過A作AF⊥BC，交CB的延長線于F，
∵AE⊥CD，∠C=90°
∴∠AED=∠F=∠C=90°，
∴四邊形AFCE是矩形，
∴∠FAE=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF=90°-∠BAE，
在△AFB和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AED}\\{∠FAB=∠DAE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AE=AF=10，S_△AFB=S_△AED，
∵四邊形AFCE是矩形，
∴四邊形AFCE是正方形，
∴S_{正方形AFCE}=10×10=100，
∴S_{四邊形ABCD}
=S_{四邊形ABCE}+S_△AED
=S_{四邊形ABCE}+S_△AFB
=S_{正方形AFCE}
=100；

（2）如圖2，過A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=∠F=90°，
∴∠FAE+∠BCD=180°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD，
∴∠BAE=∠FAD，
在△AEB和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}\\{∠AEB=∠F}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE=AF=19，BE=DF，
設(shè)BE=DF=x，
∵BC=10，CD=6，
∴CE=10-x，CF=6+x，
由勾股定理得；AC²=AE²+CE²=AF²+CF²，
∵AE=AF，
∴CE=CF，
即10-x=6+x，
解得：x=2，
∴CE=CF=8，
∵△AEB≌△AFD
∴S_△AEB=S_△AFD，
∴S_{正方形AFCE}=$\frac{1}{2}$×8×19+$\frac{1}{2}$×8×19=152
∴S_{四邊形ABCD}
=S_△AEB+S_{四邊形AECD}
=S_△AFD+S_{四邊形AECD}
=S_{正方形AFCE}
=152．
故答案為：152．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)和判定的應用，能綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．