Question

11．如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，BE=$\frac{1}{3}$BC，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，連接AE，EF．
求證：∠AEF=∠DAE．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線于G，由△DFG≌△CFE得DG=CE，F(xiàn)G=EF，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為6k，則DG=CE=4k，DF=CF=3k，AD=6k，求出AG，EG，即可解決問(wèn)題．

解答 證明：延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠C=90°=∠FDG，
∵F是DC中點(diǎn)，
∴DF=FC，
在△DFG和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDG=∠C}\\{DF=CF}\\{∠DFG=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△DFG≌△CFE，
∴DG=CE，F(xiàn)G=EF，
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為6k，則DG=CE=4k，DF=CF=3k，AD=6k，
在RT△DFG中，F(xiàn)G=$\sqrt{D{G}^{2}+D{F}^{2}}$=5k，
∴EF=FG=5k，
∴AG=AD+DG=10k，EG=EF+FG=10k，
∴∠AEF=∠DAE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)設(shè)參數(shù)k，表示出相應(yīng)的線段解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．