【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問(wèn)題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.

經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的解題思路:在AB上截取BM=BE,連接ME,則AM=EC,易證AME≌△ECF,所以AE=EF.

在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:

(1)小穎提出:如圖2,如果把點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)改為點(diǎn)E是邊BC(B,C)的任意一點(diǎn),其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)小華提出:如圖3,點(diǎn)EBC的延長(zhǎng)線上(C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立。你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由。

【答案】(1)正確,證明見(jiàn)解析;(2)正確,證明見(jiàn)解析.

【解析】解:(1)正確.

證明:在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連結(jié)ME,

∴BM=BE. ∴∠BME=45°. ∴∠AME=135°.

∵CF是外角平分線,

∴∠DCF = 45°. ∴∠ECF = 135°.

∴∠AME = ∠ECF .

∵∠AEB +∠BAE=90°,∠AEB + ∠CEF = 90°,

∴∠BAE = ∠CEF.

∴△AME ≌ △ECFASA).

∴AE=EF.

2)正確.

證明:

BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N,

使AN=CE,連接NE.

∴BN=BE.

∴∠N=∠FCE=45°.

四邊形ABCD是正方形,

∴AD∥BE . ∴∠DAE=∠BEA .

∴∠NAE=∠CEF . ∴△ANE≌△ECFASA).

∴AE=EF.

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