【題目】ABC中,AB=AC,BAC=α(0°<α<60°),分別以AB、BC為邊作等邊三角形ABE和等邊三角形BCD,連結(jié)CE,如圖1所示.

(1)直接寫(xiě)出ABD的大。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆;

(2)判斷DC與CE的位置關(guān)系,并加以證明;

(3)在(2)的條件下,連結(jié)DE,如圖2,若DEC=45°,求α的值.

【答案】(1)ABD=30°﹣α;(2)DC與CE垂直;見(jiàn)解析(3)α=30°

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ABC=ACB==90°﹣α,根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論;

(2)連接AD;根據(jù)已知條件得到ABD=EBC,推出ABD≌△EBC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ADB=ECB,證得ABD≌△ACD,由全等三角形的性質(zhì)得到BAD=CAD=α,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到BDA=180°ABDBAD=180°﹣(30°﹣α )﹣α=150°,求得BCE=150°,即可得到結(jié)論.

(3)根據(jù)已知條件得到DEC為等腰三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DC=DE=BC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到EBC=15°,即可得到結(jié)論.

解:(1)AB=AC,A=α,

∴∠ABC=ACB=

=90°﹣α

∴∠ABD=ABCABE

=90°﹣α﹣60°

=30°﹣α;

(2)DC與CE垂直;

連接AD;

∵∠ABE=DBC=60°,

∴∠ABEDBE=DBCDBE,

ABD=EBC

ABDEBC中,

,

∴△ABD≌△EBC,

∴∠ADB=ECB,

ABDACD中,

,

∴△ABD≌△ACD,

∴∠BAD=CAD=α

∴∠BDA=180°ABDBAD=180°﹣(30°﹣α )﹣α=150°,

∴∠BCE=150°,

∵∠BCD=60°,

∴∠DCE=90°,

即DC與CE垂直;

(3)∵∠DCE=90°,

∵∠DEC=45°

∴△DEC為等腰三角形,

DC=DE=BC,

∵∠BCE=150°

∴∠EBC=15°,

∵∠EBC=30°α=15°

∴∠α=30°

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