Question

【題目】如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個公共點(diǎn)與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運(yùn)動速度為每秒π個單位，大圓的運(yùn)動速度為每秒2π個單位，（1）若小圓不動，大圓沿數(shù)軸來回滾動，規(guī)定大圓向右滾動的時間記為正數(shù)，向左滾動時間即為負(fù)數(shù)，依次滾動的情況錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6

（1）第　 　 次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)；

（2）當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動時，大圓運(yùn)動的路程共有多少？此時兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）

（3）若兩圓同時在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動，滾動一段時間后兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距9π，求此時兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）總路程為：36π，兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離為：8π；（3）小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為6π，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-6π

【解析】

（1）根據(jù)題意，分別求出每次滾動后大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，計算出每次運(yùn)動的路程，然后求和即可求出大圓運(yùn)動的總路程，然后求出運(yùn)動6次后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可；

（3）根據(jù)大圓和小圓的運(yùn)動方向，分類討論，分別求出對應(yīng)的運(yùn)動時間，從而求出兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．

解：（1） 第1次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π|＝2π

第2次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π|＝2π

第3次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π

第4次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π

第5次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π

第6次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π

∵10π＞8π＞6π＞4π＞2π＝2π

所以第4次滾動后大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)．

故答案為4；

（2）總路程為：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π

此時兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離為：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π

答：當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動時，大圓運(yùn)動的路程為36π；此時兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離為8π．

（3）當(dāng)它們同向運(yùn)動時，運(yùn)動時間為：秒，

若同時向右運(yùn)動，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9×π=9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9×2π=18π，

若同時向左運(yùn)動，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-9×π=-9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-9×2π=-18π，

當(dāng)它們反向運(yùn)動時，運(yùn)動時間為：秒，

若小圓向左、大圓向右運(yùn)動時，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-3×π=-3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3×2π=6π，

若小圓向右、大圓向左運(yùn)動時，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3×π=3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-3×2π=-6π

綜上所述：小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為6π，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-6π．