Question

16．平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）．
發(fā)現(xiàn)：
（1）當(dāng)α=0°，即初始位置時，點P在直線AB上（選填“在”或“不在”）．
當(dāng)α=15°時，OQ經(jīng)過點B；
（2）在OQ旋轉(zhuǎn)過程中，α=60°時，點P，A間的距離最�。縋A最小值為1；
（3）探究當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sin α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DOQ=∠ABO=45°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)OA+AP≥OP，當(dāng)OP過點A，即α=60°時，等號成立，于是得到AP≥OP-OA=2-1=1，當(dāng)α=60°時，P、A之間的距離最小，即可求得結(jié)果；
（3）分三種情況；①根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，解直角三角形得到OS=$\sqrt{O{K}^{2}-S{K}^{2}}$=2，SO′=2$\sqrt{3}$，KO′=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$，于是得到結(jié)果；②當(dāng)半圓K與AD相切于T，如圖6，同理可得sinα的值；③當(dāng)半圓K與CD切線時，點Q與點D重合，且為切點，得到α=60°于是結(jié)論可求．

解答 解：（1）在，
當(dāng)OQ過點B時，在R_t△OAB中，AO=AB，
∴∠DOQ=∠ABO=45°，
∴α=60°-45°=15°；
故答案為：在，15°；

（2）如圖2，連接AP，
∵OA+AP≥OP，
當(dāng)OP過點A，即α=60°時，等號成立，
∴AP≥OP-OA=2-1=1，
∴當(dāng)α=60°時，P、A之間的距離最小，
∴PA的最小值=1；
故答案為：60°，1；

（3）半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況；
①如圖5，半圓K與BC相切于點T，設(shè)直線KT與AD，OQ的初始位置所在的直線分別交于點S，O′，
則∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，
OS=$\sqrt{O{K}^{2}-S{K}^{2}}$=2，
在Rt△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2$\sqrt{3}$，KO′=2$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
在Rt△KGO′中，∠O′=30°，
∴KG=$\frac{1}{2}$KO′=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$，
∴在Rt△OGK中，sinα=$\frac{KG}{OK}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{3}{4}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
②當(dāng)半圓K與AD相切于T，如圖6，同理可得sinα=$\frac{KG}{OK}=\frac{\frac{1}{2}O′K}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（O′T-KT）}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\frac{1}{2}}{5}$=$\frac{6\sqrt{2}-1}{10}$；
③當(dāng)半圓K與CD切線時，點Q與點D重合，且為切點，=60°，

∴sinα=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
綜上所述sinα的值為：$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$或$\frac{6\sqrt{2}-1}{10}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．