Question

如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點(diǎn)，且OP=3，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動點(diǎn)，若△PEF周長的最小值等于3，則α=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時周長最小，根據(jù)CD=4可求出α的度數(shù)．

解答：解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最小．
連接OC，OD，PE，PF．
∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OA對稱，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=3，
∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=3，
∴OC=OD=CD=3，
∴△COD是等邊三角形，
∴2α=60°，
∴α=30°．
故答案為30°．

點(diǎn)評：此題主要考查了最短路徑問題，本題找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．